Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ich möchte heute anfangen mit dem Beweis von Codola 642, mit dem Herr Knapner gestern die Vorlesung beendet hat.

Falls es ein bisschen Chaos oder ein bisschen Durcheinander mit der Nummerierung gibt, bitte, Sie können mir das gerne sagen.

Ich habe versucht, alles konsistent durchzunummerieren, aber eventuell könnte da mal eine Nummer 2 Punkt oder so auftauchen.

So, Cordula 6-4-2, worum geht es? Seien die Voraussetzungen aus unserem Konvergenztheorien

639 erfüllt und weiter sei x0 ein Startwert so gewählt, dass die Niveau-Menge

mit Index f an der Stelle f von x0 definiert als die Menge aller Punkte x, sodass der Funktionswert kleiner gleich als dieses fx0 ist.

Wir suchen ja ein Minimum von diesem f und das sind dann, wenn wir ein Startwert x0 haben, sind das noch die interessanten Punkte in dieser Niveau-Menge.

Alle anderen Punkte, deren Funktionswert größer ist als der Funktionswert von unserem Startwert, ist natürlich nicht interessant.

Wenn diese Niveau-Menge kompakt ist, dann zeigen wir jetzt, bis jetzt a, die Folge, die durch unser Abstiegsverfahren definiert ist, die Folge xk,

mindestens einen Häufungspunkt, werde ich abkürzen mit hp.

Und wenn wir zudem voraussetzen, dass unsere Niveau-Menge konvex ist und unsere Funktion f strikt konvex,

auf unsere Niveau-Menge, dann konvegiert die ganze Folge, die ganze Folge,

die ganze Folge des Abstiegsverfahrens xk, gegen die eindeutig bestimmte globale Minimalstelle.

Also der Lösung unseres Optimierungsproblems x Stern von f auf Rn.

Also unser Theorem, welche Nummer hatte das? Theorem 3.9 sagt uns, dass bei gegebenen Voraussetzungen,

also wenn die Suchrichtung die Winkelbedingungen erfüllt und unsere schrittweiten Steuerung effizient ist, dass dann die Häufungspunkte von unserer Folge,

von diesem Abstiegsverfahren, stationäre Punkte sind. Und jetzt brauchen wir noch zusätzlich Konvexitätsbedingungen an das Gebiet und an die Funktion selbst,

dass wir auch sagen können, dass diese stationären Punkte Minimal sind, globale Minimal und dass diese auch eindeutig sind.

Das wird klar, dieser Konvex, dieser Zusammenhang, eindeutig globales Minimum und Konvexität, strikte Konvexität der Funktion mit der Aufgabe aus dieser Übung,

aus der derzeitigen Übung. Ich glaube, die Zusatzaufgabe müsste das sein, die das behandelt. Konvexe Optimalitätsprobleme.

Gut, wollen wir das beweisen? Mit Hilfe von diesen Aufgaben. Beweis A.

Na, dann muss man einfach nur zeigen, dass es überhaupt einen Häufungspunkt gibt, das ist nicht so schwer.

Wir haben eine Folge, die ist definiert auf ein Kompaktum. Abstiegsverfahren definiert unsere Folge.

xk, knn. Und diese Folge liegt natürlich in unserer Niveaumenge.

Der Funktionswert aller weiteren Folgenglieder kleiner ist oder kleiner gleich als der Funktionswert hier ausgewertet am Startwert x0.

Daher liegen alle Folgenglieder in dieser Niveaumenge. Diese ist kompakt, das heißt, wir haben eine Folge, die beschränkt ist, in einem Kompaktum liegt und damit hat sie einen Häufungspunkt.

Also daraus folgt, dass diese Menge hier kompakt ist, die Behauptung.

Gut, etwas mehr müssen wir bei der B tun.

Gut, wir haben vorausgesetzt, dass F stetig ist, strikt konvex. Und weiter, dass die Niveaumenge nF an der Stelle fx0 kompakt ist und konvex.

Gut, dann folgt daraus mit, wie schon gesagt, Vergleichen, Übung 12, Aufgabe 42, dass es das F auf unserer Niveaumenge genau ein globales Minimum hat.

Das ist das eine und weiter müssen wir zeigen, dass unser Abstiegsverfahren auch gegen dieses Minimum konvergiert.

Also es existiert genau ein, ich weiß nicht, ob Sie diese Notation kennen, dieses Aufrufezeichen markiert die Eindeutigkeit von unserem Minimum x Stern.

Also es existiert genau ein x Stern in Rn. Für das gilt, dass fx Stern ist das Minimum aller x auf dieser Niveaumenge über die Funktion fx.

Na gut, wir wollen aber ein globales Minimum, aber so wie wir unsere Niveaumenge definiert haben, ist natürlich klar, dass alle Funktionswerte ausgewertet außerhalb der Niveaumenge größer sind als unser fx0 und damit auch größer sind als unser Minimum,

das wir in der kompakten Niveaumenge gefunden haben. Und das gilt für alle y, die eben nicht in der Niveaumenge liegen.

Und da das gilt, ist also x Stern die globale Minimalstelle von f auf ganz Rn.

Also gerade die Lösung unseres Minimierungsproblems.

Gut, das ist die Existenz, die eindeutige Existenz unseres globalen Minimums.

Wie gesagt, jetzt zeigen wir noch, dass die Folge xk, die über unser Abstiegsverfahren definiert ist, gegen dieses Minimum konvergiert.

Also wir haben schon gesehen über a, dass diese Folge einen Häufungspunkt besitzt, den nennen wir jetzt mal x quer.

Sei x quer Häufungspunkt, erstmal irgendein Häufungspunkt, wir wissen ja erstmal nur, dass es überhaupt einen gibt, könnten aber auch mehrere sein für die Folge,

von unserer Folge xk.

Dann folgt nach unserem Theorem 639 eben, was war die Aussage, dass alle Häufungspunkte unseres Abstiegsverfahrens stationäre Punkte sind.

Das heißt Gradient f von x quer ist gerade 0.

Da aber f konvex ist, konvex Funktion, das ist auch wieder eine Folgerung dann aus der Übung, gleiche Aufgabe, Übung 12, Aufgabe 42,

wissen wir, dass das hier gleichbedeutend ist mit, dass x quer globales Minimum ist.

Das globale Minimalstelle von f.

Das bedeutet, dass gerade x quer mit x Stern zusammenfallen.

Das heißt also x Stern ist x quer und aufgrund der Eindeutigkeit von unserem globalen Minimum wissen wir jetzt, dass es auch nur einen Häufungspunkt geben kann unserer Folge.