Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen. Wir hatten also uns jetzt sozusagen, was diesen asymptotischen Zugang

betrifft, ein vollständiges Bild verschafft. Wir haben lange den Konsistenzfehler und

insbesondere die Konsistenzfehlerordnung untersucht und haben jetzt mit dem Begriff

der asymptotischen Stabilität eine Möglichkeit aus Konsistenz mit dieser asymptotischen Stabilität

zusammen auf Konvergenz zu schließen. Und wenn wir das quantitativ machen, also was heißt

nochmal asymptotische Stabilität, das ist eine Aussage über das Differenzenverfahren,

genauer gesagt über die ganze Familie von Differenzenverfahren in dem Parameter H und

das ist einfach die Aussage, dass für dieses sozusagen diskrete nicht lineare System,

Expezit oder Gleichungssystem, ein stetiger Zusammenhang zwischen Störungen im Anfangswert

und der rechten Seite und der Lösung dann besteht. Und wenn wir diesen stetigen Zusammenhang

quantitativ machen, insofern als wir, oder wir können diesen stetigen Zusammenhang dadurch

quantitativ machen, dass wir für die Familie der Verfahrenfunktionen FH unseres Einschrittverfahrens

fordern, dass auch dort Lipschitz-Stetigkeit gleichmäßig in H vorliegt, dann wird dieser

Zusammenhang zwischen den Daten und der Lösung im Differenzenverfahren zu einem Lipschitz-stetigen

Zusammenhang, allerdings eben mit diesem Verstärkungsfaktor E hoch L mal Intervallänge, wenn L die

Lipschitz-Konstante ist. Das kann also durchaus eine sehr große Konstante werden, wo man sich

dann fragt, ja asymptotische Betrachtung schön und gut, aber wenn ich rechne, rechne ich ja

doch letztendlich mit einem endlichen H, ist das dann noch eine realistische Aussage. Also

das ist eine Fragestellung, an die müssen wir noch ein bisschen rangehen. Da gibt es

verschiedene Antworten auf diese Frage. Die eine ist die, und das möchte ich jetzt ein

bisschen verfolgen, kann man vielleicht ein bisschen verfeinerte Aussagen in dieser Richtung

bekommen, wo eben nicht die Lipschitz-Konstante das entscheidende Kriterium ist, sondern eine

Größe, die eben auch so etwas wie auf der einen Seite wirklich wirkliches exponentielles

Wachstum beschreibt, wie eben bei der Gleichung y Strich gleich alpha y mit positiven alpha,

aber auf der anderen Seite eher so was wie Disziption bei der Gleichung y Strich gleich

minus alpha mal y, wo eben nichts verstärkt wird, sondern vielmehr eben alles schön verteilt

wird und schön verteilt heißt dann eben insbesondere noch die Fehler werden schön verteilt, bei

einer linearen Gleichung gibt es ja keinen Unterschied zwischen Lösung und Fehler. Differenzen

von Lösungen sind auch wieder Lösungen und ja da wollen wir noch ein bisschen verfeinerten

Begriff rangehen. Was wir jetzt auf diesem Bild sehen, ist nochmal eine Art Skizze unserer

bisherigen Vorgehensweise. Wir sind ja so vorgegangen, dass wir versucht haben den

Abroximationsfehler, den Fehler zwischen exakter Lösung y sagen wir mal an der Stelle t j und

Näherungslösung y j sukzessive zurückgeführt haben auf den gleichen Fehler aber einen Schritt

vorher und was da auf diese Weise hin zu gekommen ist, war der sogenannte Konsistenzfehler oder

genauer gesagt tau mal der Konsistenzfehler oder h mal der Konsistenzfehler hier heißt

es glaube ich tau das was bisher bei uns h j hieß das heißt also wenn wir zum Beispiel

an der Stelle, was ist denn jetzt los, mag das wieder nicht, schaue ob ich eine Ersatzbatterie

da habe. Jetzt gehts wieder, nehmen wir an wir sind an der Stelle t 2. Dann was jetzt

hier nur eingezeichnet ist die exakte Lösung am Startwert aber natürlich haben wir wegen

unserer global Voraussetzung die dazu führt, dass das Anfangswertproblem immer lokal eindeutig

lösbar ist, haben wir sozusagen an jedem Punkt wo wir hier auch immer sind eine von

diesem Punkt startende exakte Lösung des Problems. Wir sind an der Stelle t 2 sagen

wir, wir wollen abschätzen was ist der Unterschied zwischen dem was wir ausgerechnet haben der

exakten Lösung und das machen wir dadurch, dass wir vergleichen mit dem was passiert,

dass wir diesen Wert vergleichen mit einem Wert der dadurch entsteht, dass ich an der

vorherigen Nährungslösung y 1 starte aber die exakte Anfangswertaufgabe löse und das

ergibt uns gerade dann diese Abweichung die hier oben aufgetragen ist. Man kann sich also

vorstellen dass jetzt die Lösung hier startet und vielleicht so läuft. Das gibt also h mal

den lokalen Abschneidefehler. Jetzt sind wir einen Schritt zurück und jetzt wiederholen