Bevor wir mit Data Science fortführen können, würde ich gerne etwas Zeit damit

nur bringen, dass wir ein bisschen über Themen aus der Lehner Allgemeinarbeit sprechen und zwar

konkret über Dinge, die sich auf Matrizen beziehen. Das war zwar Stoff des ersten Semesters, der

Mathematikvorlesung im ersten Semester, aber eventuell ist bei einigen von Ihnen die Erinnerung

da nicht mehr ganz so frisch. Vielleicht war für die Dinge, die uns hier interessieren, auch im

ersten Semester nicht ausreichend Zeit. Und sei es einfach nur um die Notations-

das Folgende festzulegen, würde ich gerne mit Ihnen über ein paar wichtige Ideen der Linien in Algoa sprechen.

Wir starten mit einer Erinnerungsfolie über Vektorräume. Ich gebe zu, dass die Folie etwas

überladen ist, aber wir gehen jetzt der Reihe nach durch. Wir haben einen Körper K und auf

diesem Körper K und dieser Körper K den stellen wir jetzt einfach vor als die Menge der realen Zahlen.

Und auf diesem Körper gibt es eine Addition und eine Multiplikation. Das ist die ganz normale

Addition und Multiplikation, die wir so kennen. Insbesondere wenn wir als Körper K die realen Zahlen nehmen.

Und jetzt betrachten wir eine Menge V. Das ist erstmal nur eine Menge, aber auf diese Menge

sind es zwei Dinge definiert. Erstens eine Verknüpfung, das ist hier geschrieben als eine

additive Verknüpfung, aber das ist einfach nur ein Symbol, also ein Plus mit einem Krängel. Ich nenne

das jetzt O Plus. Dieses O Plus, das nimmt zwei Elemente aus V und erzeugt wieder ein Element in V.

Und naja, das schreiben wir jetzt als einen sogenannten Infix-Operator und O Plus von U,V

schreiben wir kurz einfach nur als UO Plus V. Und dann haben wir eine sogenannte Skalar-Multiplikation.

Das hat nichts mit dem Skalar-Produkt mit Vektoren zu tun, also mit dem Vektor transponiert mit Vektor,

sondern das ist eine Multiplikation zwischen einem Skalar, das hier sollte ein dickes K sein,

sowie der Körper, also ein Körper-Element K. Wir nehmen ein Skalar, ein Element aus dem Körper und wir nehmen ein

Element aus V. Diese Elemente nennen wir später Vektor und es erzeugt uns wieder ein Vektor,

also ein Element aus V. Nach hier schreiben wir kurz O mal von lambda,u als Infix-Operator lambda O mal U.

Und dieses Triple aus V, diesem Vektor Plus und diesem Vektor mal, das ist ein K-Vektor-Raum,

wenn diese acht Eigenschaften gelten. Das ist jetzt ein bisschen viel, aber eigentlich nicht alles einfach nachzuprüfen,

so in typischen Beispielen. Das erste ist, dass die Vektoraddition, das hier, associativ ist,

genauso wie das wir auch kennen von einem normalen Plus in Körpern. Dann gibt es ein neutrales Element

in diesem Vektorraum, das sich neutral verhält bezüglich der Vektoraddition. Es gibt zu jedem V,

also zu jedem Vektor ein inverses Element, sodass die Addition, die Vektoraddition von V und sein

inverses Element, dieses Neutral-Element 0V ergibt. Die Vektoraddition ist kom shortly und

alternate S orbitalsas. Erste ist, dass sie der FX, die Vector-Addition mit der fourth

letter die Vektor

Der Vektoraddition von u und v ist gleich der Skalarproduktion von lambda mit dem Vektor u plus

schon ein Fehler gemacht das hier ist ein

kringel plus

also

Die die Vektoraddition

von lambda

Skalarproduktion von lambda mal u und lambda mal v

das gleiche gilt

wenn wir das plus in die Skalare setzen das bedeutet

das ist jetzt das Vektorraum plus hier dieses k plus

lambda plus mu mal u ist gleich lambda mal u plus mu mal u

und dann sind die beiden Produkte assoziativ

das

ich sage jetzt mal normale Produkt von lambda und mu im Körper

in der Skalarmultiplikation mit einem Vektor u ist das gleiche wie wenn wir u zuerst

mit mu und dann den resultierenden Vektor ebenfalls mit lambda

Bedingung Nummer 8 ist dass das einzelne im Körper das immer gibt weil ein Körper in meinem

einzelnen enthält dass dieses einzelne sich auch neutral bezüglich der Skalarmultiplikation verhält