Die Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen in Nürnberg präsentiert.

zu handeln, ist es nicht so schwierig, sie zu handeln, weil wir

eine Densität haben, die sagt, dass bestimmte Späten von C-Infinite-Funktionen

dänzer sind als die Sobolev-Späten.

Diese sind entweder, wenn wir die 0-Version haben, so zu sprechen,

also diese mit dem Trag 0, diese sind nur die Testfunktionen,

in dem Sinne, dass C-Infinite 0 von Omega dänz ist.

Und in dem anderen Fall haben wir gesehen, dass die C-Infinite Funktionen

auf dem ganzen Domain, bestreitet von Omega,

ein Set von Vektorspäten von dänzenden Funktionen in der H1 geben.

Das bedeutet, dass wir mit schmalen Funktionen basically arbeiten können.

Das einzige ist, dass die Terme, die in der Ende kommen,

für die H1 oder H2 Funktionen Sinn machen.

Und als Beispiel, und das ist natürlich die Basis für die Erneuerung der Wegeformulation,

haben wir, so zu sprechen, die genialisierten Formulare für die Partialintegration.

Und wir haben in dieser Formulierung gesagt, wie wir es verwendet haben,

können wir einen Gradient, so zu sprechen, in den Vektorfeld setzen,

die Signen verändern und einen zusätzlichen Boundarintergratum mit einem Vektorfeld in einer normalen Direktion bekommen.

Das einzige, was wir für das brauchen, ist, dass die Quantitäten, die hier zeigen, Sinn machen.

Also die Komponenten der Q müssen L2 Funktionen sein,

die Komponenten des Gradients der V müssen L2 Funktionen sein,

dann ist das eine Möglichkeit, dann ist das Produkt integriert,

und hier entsprechend, die Diversenzen müssen eine L2 Funktion sein,

für die es natürlich zufrieden ist, dass alle Partialderivative L2 Funktionen sind,

und hier entsprechend müssen wir die Komponenten der V und Q beitragen.

Und all diese Begegnungen sind zufrieden, wenn wir sagen, V ist eine H1 Funktion,

die Qi sind eine H1 Funktion, also verbreiten wir zuerst diese Beziehung für die entsprechenden Smooth Funktionen,

und natürlich am Ende auf den Gauss-Integratum, und dann machen wir diesen Limitprozess.

Und wenn wir diese Beziehung haben, können wir weitere Beziehungen wie diese Formulierung bauen,

die sagt, wenn wir die Laplacian von V haben, können wir die Diversenzen über die Testfunktionen bringen,

und diese Beziehung bekommen.

Und wenn wir einen Schritt weiter gehen, und nicht nur mit Gradienten, Diversenzen und so weiter,

aber wir können wirklich Komponenten bringen, das ist das, was wir jetzt wollen.

Wir sind nicht nur mit der Poisson-Equation zufrieden,

also wollen wir eine generelle elliptische Equation haben, und das bedeutet,

dass wir etwas dieses Typen haben wollen.

K times Gradient of V and the Diversions of this term.

We have seen that that would correspond to a term in a PDE describing general diffusive forces.

And we can generalize this formula in the following sense.

So formally we do the same thing.

We get the gradient here over to the W, so we get this term with change of sign,

and we get the corresponding boundary term.

And now we have to look at the single components, in which case this does make sense.

So let's say we want to stick to the situation where W and V is in H1,

then we would have here L2 times L2 functions here involved.

This is an integrable function, so we have not so much room to multiply

with the further functions to stay integrable.

Therefore here we have to assume that those coefficients have to be bounded.

So this was essentially bounded in the sense of Lebesgue measure theory.

So what do we need for this term here?