Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir hatten das letzte Mal gesehen, wie man unter verschiedenen Voraussetzungen an die zugrunde

liegende Zerlegungen Konvergenzordnungsabschätzungen zeigen kann. Die große allgemeine Voraussetzung ist

die Formregularität, die im Wesentlichen nicht erlaubt, dass Elemente sozusagen flach werden,

die einen Bezug setzen zwischen dem Durchmesser des Elements und dem größten Durchmesser eines

einbeschriebenen Kreises, im allgemeinen einbeschriebenen d-dimensionalen Kugel.

Und haben dafür auch eine alternative Bedingung gesehen, die aber erst mal nur,

man kann sie etwas erweitern, aber so wie wir sie besprochen haben, gilt sie erst mal nur am

zweidimensionalen für Dreiecke und für den linearen Ansatz, was auf die Maximalwinkelbedingungen

hinausläuft. Diese Konvergenzordnungsaussagen sind noch nicht wirklich praktisch, insofern sie nicht

wirklich das Problem behandeln, was dann auch in der Implementierung gelöst wird. In der

Implementierung haben wir gesehen, müssen wir zumindestens, sofern wir über die Poissongleichung

hinaus wollen, also allgemeine Koeffizientenfunktion zulassen wollen, sind wir nicht in der Lage,

die bilinear Form oder die linear Form exakt auszuwerten. Das heißt also, wir müssen die

Integralität dort stehen, entweder global oder lokal, durch Quadraturformeln ersetzen. Das ist

etwas, was wir jetzt noch sozusagen in unsere Theorie integrieren müssen. Das ist nicht die

wirkliche Lehre von Finite Element Verfahren, deswegen spricht man da auch von Variational

Crimes, von Variationsverbrechen. Okay, ein anderer Punkt, der damit stark in Zusammenhang

steht, ist das Einbringen der inhomogenen Dirichlerandbedingungen. Wir haben uns ein

gewisses Prozedere überlegt, haben aber bis dato keine Vorstellung, vielleicht haben sie sich eine

verschafft, dann sind sie schon weiter, als die Vorlesung ist, dass das in irgendeiner Form

akzeptabel ist oder nicht. Also akzeptabel in dem Sinne, dass es die Konvergenzordnung, die wir

gezeigt haben, nicht stört. Vielleicht fangen wir mit diesem Punkt an. Wir haben mit dem Punkt

schon angefangen und sollen uns noch daran erinnern, was wir machen, wenn wir inhomogene

Dirichlerandbedingungen auf einem Teilstück haben. Wir wollen ja, das sind die allgemeinen Formen

unserer Formulierung bringen, wo sowohl die Lösung als auch die Testfunktion aus dem gleichen Raum

sein sollen, sowohl kontinuierlich als auch diskret. Das heißt also im Fall von Dirichler

Funktionen, wir haben Funktionen, die sind Null im Sinne des Spursatzes auf dem Teilstück,

wo die Dirichlerandbedingungen gelten soll. Also V ist mit homogenen Dirichlerandbedingungen

zu verstehen und dementsprechend müssen wir dann auch die Lösung aufspalten in einen Lösungsanteil,

der auch homogene Randbedingungen hat, einen Lösungsanteil, der nicht eindeutig durch diese

Bedingung festgelegt ist, der nur die Eigenschaft zu erfüllen hat, dass er für die inhomogene

Dirichlerandbedingungen sorgt. Es ist klar, so eine Funktion, so eine H1-Funktion muss es geben,

wenn es sie nicht geben würde, wird es überhaupt keine Lösung des Dirichlerproblems geben können.

Das heißt also, wir haben das Problem in dieser Form geschrieben und in dieser Form geschrieben

heißt, wir haben jetzt tatsächlich das U aus dem Raum V mit dem homogenen Dirichlerandbedingungen

ist die unbekannte Funktion und der Anteil A, W, V mit dem festen W und dem variablen V wandert nach

rechts in die Linearform. Das heißt, wenn wir das jetzt entsprechend diskretisieren,

würde die Diskretisierung so aussehen. Das ist aber nicht das, was wir wirklich machen. Vielleicht

schauen wir uns nochmal kurz an, ist das denn überhaupt einfach oder schwierig so ein W zu

konstruieren. Das ist hoch uneindeutig, aber kommen wir überhaupt leicht an so ein W ran. Im

Eindimensionalen klar, im mehrdimensionalen sagen wir mal im zweidimensionalen. Sagen wir mal, wir haben

ein polygonales Gebiet. Das ist auch der Rahmen, der in unserer Konvergenzordnungstheorie zugrunde

liegt. Wie können wir jetzt da eine Funktion in diesem zwei- oder dreiraum Dimension eine Funktion

W definieren, die genau der inhomogene Dirichlerand ist, der gesamte Rand. Das sind also all diese

Knoten hier involviert, die an diesen Knoten die vorgegebenen Werte annehmen. Nun ja, wir können

sagen, okay nehmen wir mal an, das Gebiet ist trianguliert. Ich mache es jetzt bloß mal mit

einem, naja, man kann es vielleicht auch schon mit einem zählen, mit einem inneren Knoten. Und dann

könnte ich sagen, okay, hier setze ich eben die Werte W gleich G an diesen Stellen hier. Das wäre

sozusagen die Vorgabe meiner Interpolationsaufgabe und hier drinnen sozusagen an allen inneren Knoten