Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir haben bereits ein Beispiel der Konformul-Find-Element-Methode in der Anfang in 2D-Triangeln mit linearen,

piecewise linearen Ansatzfunktionen. Und jetzt sehen wir, wie das generalisiert werden kann.

Generalisiert von 2D zu 3D oder generell auch zu D-spatialen Dimensionen.

Und in der Behandlung von 2 physisch-file-Equationen, in der Ingenieure-Behandlung,

natürlich, geht D bis 3. Und das ist auch eine Restriktion, die wir später in unserer Theorie benutzen werden.

Aber es gibt verschiedene Art von Behandlung, wo partiell-differentiale Äquationen

in vielen Dimensionen, weit über 3, aussehen.

Okay, deshalb machen wir das generell.

Wir brauchen generelle Finite-Elemente. Was ist ein Finite-Element?

Ein Finite-Element ist mehr als nur die grundlegende geometrische Entität, die wir benutzen.

Es ist die grundlegende geometrische Entität, zum Beispiel ein Simplex in D-Dimensionen.

Das ist der Art von Element, den wir jetzt sehen.

Aber in Erdbeisicht braucht es Degrees of Freedom.

Normalerweise sind diese Degrees of Freedom bezeichnet an Nodes.

Das ist nicht nötig, aber alle Degrees of Freedom, die wir sehen, sind bezeichnet an Nodes.

Was sind Nodes? Nodes sind nur Punkte, wo Degrees of Freedom zu befinden sind.

Das ist mehr oder weniger eine Tautologie.

Nodes im Allgemeinen enthalten die Werte des unterliegenden Simplexes.

Aber wie wir bereits gesehen haben, gibt es vielleicht mehr Nodes als Werte.

Wenn wir auf höhere Anzahlungen gehen, die ein größeres Degrees in dem Polynomial-Ansatzraum sind,

dann brauchen wir mehr Degrees of Freedom als wir Werte im Simplex oder in anderen geometrischen Entitäten haben, die wir benutzen.

Natürlich brauchen wir dann auch den lokalen Ansatzraum.

Hier ist das letzte Beispiel, das wir schon vorhin besprochen haben.

Es geht um die quadratischen Ansatz auf einem Simplex.

Wir haben also einen Simplex in D-Dimension,

der von D plus 1-Pozen in einer arbitrarischen Position aussteigt, um Degenerationen zu verhindern.

Wir benutzen ein wenig die Notation von F-Ein-Geometrie,

mit der Sie von Linear Algebra ausfahrend sind oder nicht.

Es erklärt ein wenig, warum Sie so enttäuscht waren,

als Sie hier aus der Schule zu Ihrem ersten Linear Algebra-Kurs kamen.

In der Schule war klar, dass es Punkte waren, Vektoren waren,

und dann plötzlich waren es nur Vektoren und Vektoren waren nur Punkte.

Okay, wir distinguieren uns jetzt wieder ein wenig.

Wir haben diese Punkte, wir haben den Konvex Halle von diesen Punkten, und das ist nur ein generelles Simplex.

In 2D ist es ein generelles Triangeln, in 3D ist es ein Tetrahedron und so weiter.

Die Ansetzspäte, die wir hier benutzen, sind die Polynome der zweiten Degree,

bis zur zweiten Degree, und jetzt, natürlich,

eine der grundlegenden Dinge, die wir haben wollen, ist,

dass das lokale Interpolierungsproblem unikamentell solvable ist.

Und natürlich ist ein grundlegendes und notwendiges Anzeichen dafür, dass wir so viele Äquationen haben,

so viele Degree von Freiheit haben.

Die Degree von Freiheit sind die Dimensionen des Ansetzspaces,

und die Äquationen kommen aus den Interpolierungsbedingungen,

die von diesen Funktionen, die hier in der Set Sigma sind, verwendet werden.

Also wir haben den Spatialtermin K, wir haben die Funktionen,

die Funktionsspäße, die lokale Funktionsspäße P, und wir haben die Set von linear Funktionen,

die die bestimmten Degree von Freiheit definieren, die hier die Werte an bestimmten Punkten sind.

Und die Punkte hier sind die Werte, wie wir es von den linearen Elementen kennen,

aber in erheblicher Weise auch der Mittelpunkt der Verbindung,