... gerade den Quotienten aus diesen Spalteneinträgen und dem Pivotelement nimmt.

Wir haben aber andererseits auch gesehen, dass aus numerischer Hinsicht das nicht empfehlenswert ist,

dass kleine Pivotelemente zu instabilen LR-Zerlegungen führen können.

Selbst wenn wir es exakt durchführen können, kann das sehr fehleranfällig in Maschinenzahlen werden.

Wir haben auch schon gesehen, was die Charakterisierung der Existenz einer LR-Zerlegung,

das heißt der Durchführbarkeit des Gaussverfahrens ohne Pivotisierung ist.

Wir haben auch schon hinreichende Bedingungen, wie zum Beispiel die Positivdefinite dafür angesprochen.

Und für solche speziellen Klassen von Verfahren werden wir Varianten des Gaussverfahrens uns überlegen,

die dann tatsächlich stabil sind ohne Pivotisierung.

Aber im Allgemeinen, wenn man einfach sagt, ich mache LR-Zerlegung,

und das sollte eigentlich auch eine der Erfahrungen mit der Programmieraufgabe gewesen sein,

wo sie versucht haben, das Gleichungssystem mit der Hilbert-Matrix zu lösen,

das ist sogar eine positiv definite Matrix, wenn aber das Verfahren einfach ein einfaches LR-Verfahren ist,

eine LR-Zerlegung ist, kann das instabil werden.

Wir wollen uns also jetzt anschauen, und natürlich gibt es die vielen, vielen Fälle, wo es gar nicht anders geht,

weil eben das eigentliche Pivot-Element Null wird im Lauf des Verfahrens.

Wir wollen uns also jetzt das Gauss-Verfahren noch einmal mit Pivotisierung anschauen,

das heißt also, wir sind gezwungen oder wir wollen eben aus Stabilitätsgründen ein anderes Pivot-Element nehmen,

als das, was auf dem Diagonal-Eintrag steht, das heißt, wir müssen zusätzlich noch Zeilen-Vertauschungen

in das Verfahren einfügen.

Welches Kriterium man zugrunde legt, um diese Zeile auszuwählen, ist jetzt für die Gestalt des Verfahrens

erstmal nicht relevant, ist aber dann eben relevant für die Stabilität.

Und was man typischerweise macht, und das wollen wir dann auch so zugrunde legen,

ist das, was man Spaltenpivotisierung nimmt, das heißt, man schaut sich die Spalte an

und nimmt einen der betragsgrößten Einträge, es kann natürlich mehrere geben,

und diesen einen tauscht man dann in die Diagonalposition.

Was hat das zur Folge für die Multiplikatoren?

Kann man da was über die Größe der Multiplikatoren dann sagen,

die ja dann wiederum, wie wir wissen, nicht richtig wissen, aber vielleicht etwas wissen,

dass sie dann wieder in der Matrix L, in der unteren Dreiecksmatrix auftauchen?

Ich hatte die Multiplikatoren gerade nochmal genannt, nämlich als Quotient aus den eigentlichen Spalten-Einträgen

und dem Pivotisierungselement, und wenn ich da natürlich das Betragsgrößte nehme, was bedeutet das dann?

Die sind alle betragsmäßig alle dann kleiner gleich eins.

Also das ist sozusagen ein guter Nebeneffekt von dieser Pivotisierungsstrategie,

es gibt aufwändigere Strategien, die aber nicht wirklich oft benutzt werden,

aber das ist die Strategie, die wir dann auch implementieren, zumindest jetzt erst einmal,

solange wir noch jetzt ganz naiv auf die Datenstruktur schauen.

Wir hatten ja schon angefangen letztes Mal, und insofern muss ich das jetzt auch nochmal relativieren,

was ich vorhin gesagt habe, wie ich gesagt habe, es geht um die mathematischen Inhalte, nicht um informatische,

man kann natürlich sagen, naja, das ist ja eigentlich informatisch, wenn ich weiß,

MATLAB ist greif spaltenorientiert zu und ich sollte Blas-1-Routinen, die spaltenorientiert arbeiten,

benutzen, um einen möglichst effizienten Code zu kriegen.

Das ist natürlich Teil oder sollte ab jetzt, und die Aufgaben sind ja auch jetzt spezifisch daraufhin ausgerichtet,

Teil der Überlegungen sein.

Also für mich sind da die Grenzen ein bisschen offen, diese ganze Schubladendenken,

fällt mir immer etwas schwer zu sagen, das ist jetzt Mathematik, das ist Informatik,

das ist Anwendung, das ist reine Mathematik, was ist das?

Der Herr Jäger, der gestern einen wunderschönen Vortrag gehalten hat, wo ich glaube ich überhaupt keinen von Ihnen gesehen habe,

im Kolloquium, wo aber durchaus eine Chance gewesen wäre, durchaus was zu verstehen,

auch in Ihrem Semester, der hat ja gesagt, gut, es gibt keine pure Mathematics, es gibt nur pure Mathematics,