Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen, meine Damen und Herren.

Wir sind dann noch beim Thema Energiemethoden. In der letzten Woche hatte Herr Faller mit Ihnen

ja die verschiedenen Beiträge zu der komplementären Formänderungsenergie von eben Stäben und Balken

und so durchgenommen. Und basierend auf diesen Ergebnissen wollen wir dann heute eben mal schauen,

wie man das anwendet. Okay. Und das erste Beispiel bezieht sich auf den sogenannten

Energiesatz und das funktionierte ja folgendermaßen. Okay, also.

Der Energiesatz für uns sagt ja im Wesentlichen das Folgende, dass eben die komplementäre Form

Änderungsenergie identisch ist zu der entsprechenden Arbeit bzw. dass die Form Änderungsenergie der Arbeit

entspricht und insbesondere für unsere Linearen-Systeme gilt dann eben, dass alle diese Beiträge hier

gleich sind. So, und das wollen wir mal an einem spezifischen Beispiel ertüchtigen. Wenn wir

beispielsweise mal ausrechnen wollen, die Durchsenkung so eines Kragarms der Länge L

üblichen Koordinatensystem XZ unter einer Einzellast der Größe F wollen wir jetzt also berechnen,

wie groß ist diese Absenkung hier an der Kragarmspitze klein F, die Biegelinie wird sich

ja ungefähr so einstellen und wir wollen jetzt eben hier berechnen die Durchsenkung. Ja, dazu

müssen wir dieses W Stern hier zunächst berechnen. Das W Stern ist aber im Endeffekt ein Integral,

über die Beiträge hier zur Momentenlinie. Wie sieht die Momentenlinie in diesem Fall aus? Gut,

das haben wir schnell gemacht. Das ist jetzt eben gerade ein linearer Verlauf. Bei dem gegebenen

Koordinatensystem ergibt das denn hier ein negatives Moment von der Größe F mal L,

der Maximalgröße für den Verlauf des Biegemoments. Okay, so dann müssen wir jetzt eben diese zwei

Größen hier berechnen. Zum einen haben wir den Ausdruck W Stern für den Fall, dass hier nur die

Beiträge in Folge Biegemoment von Relevanz sind. Das hatten sie mit dem Herrn Faller sich überlegt,

das ergibt sich aus ein halb Integral über die gesamte Länge unseres Balkens, also der möge

die Biegesteifigkeit EI und die Länge L haben und dann eben m² durch EI Integral dx. Das ist

das Ergebnis von letzter Woche und die Frage ist jetzt, wie kann ich das möglichst geschickt

auswerten? Eine Option ist natürlich, dass ich einfach diesen Verlauf für das Moment mir

hinschreibe als Funktion. Das wäre ja hier denn gerade die Funktion F mal x minus L,

dann kann ich die quadrieren und dann kann ich die integrieren. Das kann ich natürlich alles machen.

Das ist natürlich auch nicht so schrecklich schwierig in diesem Fall, aber nichtsdestotrotz,

da gibt es genug Möglichkeiten, wo man sich mal vertut und irgendwie was vergisst und so weiter.

Etwas einfacher ist es, im Grunde hier die Auswertung dieses Integrals vorzunehmen,

basierend auf dem Verlauf, auf dieser Form dieser Biegermomentenlinie. In diesem Fall ist das einfach

ein Dreiecksverlauf und dann kann man sich natürlich vorab schon mal überlegen, wenn ich so eine

Funktion habe, so ein Dreiecksverlauf und ich quadriere den, was kommt da raus? Das kann ich

alles tabellieren und genau das gibt es auch. Die Frage ist, wo haben wir diese Blätter hier?

Können Sie das einmal raussuchen? Und dann kann ich damit mir das Leben natürlich wesentlich

einfacher machen. Also der erste Schritt ist hier, dass ich mal alles aus dem Integral rausziehe,

was konstant ist. Das wäre in diesem Fall die Wiegesteifigkeit und dann verbleibt hier das

Integral über die gesamte Balkenlänge m² dx. Ja und das kann ich jetzt, sage ich mal,

vielleicht so ein bisschen salopp hier hinschreiben als 1 ½ 1 durch ei integral über die Länge und

jetzt sozusagen das Produkt von zwei solchen Verläufen über die Länge dx. Ja und solche

Integrale, ich meine, das kann man ja vorab einmal ausrechnen und tabellieren und genauso ist das

auch gemacht. Da gibt es also solche, haben Sie das schon? Genau. Solche Tabellen in den

üblichen Ingenieurhandbüchern, hier sehen Sie das. Sie sehen dort grafisch angegeben mögliche

Verläufe für die Funktionen, die Sie integrieren wollen und wenn Sie mal schauen, dann gehen Sie

mal hier in die Zeile b etwa und die Spalte 2. Da sehen Sie sozusagen die Kombination von zwei

dreieckigen Verläufen, die Ihre dicke Seite an dem gleichen Ende haben. Ja, jetzt in unserem Fall ist

die dicke Seite auf der linken Seite und da oben in der Tabelle ist es auf der rechten, das spielt

aber in diesem Fall keine Rolle. Entscheidend ist, dass die eben Ihre dicke Seite sozusagen beide an

der gleichen Seite haben. Und dann ist dort angegeben dieser Wert, wenn Sie gucken b und 2,