Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir können den Querschnitt mal anschauen mit der Breite B und der Höhe H. Okay, gut und wir wissen

natürlich, der hat in diesem Fall zwei Symmetrieachsen und wir wissen aus den

ganzen Betrachtungen, damit wir bei reiner Biegung keine Normalkraft aus der Spannungsverteilung

haben, muss unser Koordinatensystem hier im Schwerpunkt liegen, der ist ja gerade im

Schnittpunkt der Symmetrieachsen. Genau, so und dann haben wir eben hier die Z-Koordinate und die

Y-Koordinate. Gut, okidoki. So und jetzt wollen wir eben mal dieses Flächenträger Moment beispielsweise

um die Y-Achse auswerten. Wir haben das einfach abgekürzt, Integral über den gesamten Querschnitt,

über die gesamte Querschnittsfläche, Z-Koordinate, dA. So, das steht da jetzt erstmal natürlich ein

bisschen überraschend. Was mache ich jetzt damit? Was ist so ein dA? Gut, dann gucke ich mir doch

mal hier an der Stelle Z. Lass uns das bloß weiter laufen, das ist super. Mal so einen kleinen

Streifen an. Muss ich das nochmal aufpassen, weil ich jetzt gerade online meine Notation ändere.

Na ja gut. Der hätte jetzt die dicke DZ, das ist ein kleiner Zuwachs von der Koordinate Z, ok.

Dann ist doch die Fläche hier drin, in diesem schraffierten, ist doch gerade so ein Zuwachs

der Gesamtfläche. Die ergibt sich jetzt gerade aus der Breite mal der Höhe, das ist dieses DZ, ok.

Gut. Das heißt, wenn ich das jetzt hier einsetze, dann habe ich jetzt hier Z-Quadrat und für das

dA setze ich jetzt die Breite, die ist aber konstant, die kann ich rausziehen, mal DZ, ok.

Ich will sie nicht langweilen. Und jetzt muss ich nur noch eben die Integrationsgrenzen angucken.

Ich integriere jetzt also auf einmal statt über die Querschnittsfläche über die Koordinate Z und

die Koordinate Z läuft dann ja von diesem Punkt, das wäre jetzt gerade Z gleich minus h halbe,

bis zu diesem Punkt muss ich ja alle diese kleinen Streifen hier sozusagen erwischen,

das ist an der Stelle Z gleich h halbe, ok. Na ja gut, jetzt müssen wir halt nur noch integrieren,

dann ist das also ein Drittel, b ist konstant und dann haben wir hier Z hoch drei in

die Integrationsgrenzen minus h halbe plus h halbe und das ist dann ein Drittel b h hoch drei

Achtel minus minus h auch drei Achtel also plus sind also zwei Achtel ein Viertel mal ein Drittel

sind ein Zwölftel, ok. Und das ist ja das Ergebnis, was wir schon die ganze Zeit benutzt haben, ja. Und so

würde man sich das dann selber vielleicht herleiten. Ja, wir haben ja noch ein bisschen Zeit,

dann können wir noch gerade ein zweites Beispiel uns anschauen. Ein dickwandiges Rohr, ein Rohrquerschnitt,

jetzt sind Zeichenkünste gefragt. So, das wären unsere globalen Koordinaten,

Zy, das hier ist Material, das ist Luft. Ok, so, jetzt

picken wir uns doch mal an einer bestimmten, dadurch, dass es ja so radialsymmetrisch ist,

brauchen wir uns jetzt ja sozusagen hier nur an einer bestimmten Stelle R, mal so ein Streifchen

rauszugreifen. Ok, und dieser Streifen hat jetzt ja die Decke, ein kleiner Zuwachs vom Radius dr, ok.

Und dann ist an dieser Stelle R, an diesem Radius ist die Fläche, die hier drin ist,

ist dann ein kleines Flächenelement da, das ist dann ja der Umfang mal die dicke,

ne. Zwei Pi mal R ist der Umfang, mal die dicke, mal dr, ok. Gut, vielleicht sollte ich noch dazu

sagen, dass wir hier, dass das hier der Innenradius ist von unserem Rohr, Innenradius und das hier

vielleicht der Außenradius. Ok, so, jetzt können wir das wieder hier integrieren,

eyy integral z² da. Das ist blöd. Probieren wir das.

Irgendwie auch nicht, irgendwie auch nicht besser. Aufgrund der Symmetrie werden diese

beiden Werte natürlich gleich sein, oder? Das heißt, wenn ich die jetzt addiere, dann steht

doch hier z² plus y² da. Z² plus y² ist aber gerade genau Radius zum Quadrat, ne.

Ich darf mal hier oben weiterschreiben.

Für diese, für dieses integral r² da haben wir auch nochmal wieder einen speziellen Namen

und eine Abkürzung. Das ist das polare Flächenträgersmoment und in unserem Fall hier aufgrund der Rotationssymmetrie

ist das denn gerade das Doppelte von den Flächenträgersmomenten um die y- oder die z-Achse, die sind in dem Fall

egal. So, ok, gut, und das können wir doch jetzt auswerten. Das hier war ja 2π r dr.

Das heißt, hier raus wird jetzt also 2π z-raus integral r hoch 3 integral r hoch 3 dr, ne.

Jetzt müssen wir hier noch die Integrationsgrenzen richtig setzen. Jetzt integrieren wir über

den Radius auf einmal und das geht dann eben vom Innenradius bis zum Außenradius, ne. Ok.