So, jetzt ist Punkt 2 Uhr nach der Hörsaalzeit und ich fange an. Wie angekündigt mache ich jetzt

zuerst die Übung 3 und dann geht es weiter mit der Vorlesung. Die erste Aufgabe war sicherlich

einfach. Die hatte ich zufällig in meinen Notizen gesehen, neu dann dazu genommen. Sieht so ein

bisschen zahlentheoretisch aus und dann ist es eigentlich nicht Zahlentheorie, sondern ein bisschen

algebra. Aber ich dachte, das passt jetzt so vom Aussehen her ganz gut in die Zahlentheorie.

Und wie gesagt, das sind Aufgaben, die man in Schulbüchern findet, auch dann wahrscheinlich

meistens ohne Lösung. Das Problem, also jetzt für Sie sicherlich nicht, aber für Schüler ist

dann einfach ein Text zu mathematisieren. Aufgabe 1. Ich schreibe auch nochmal den Text hin, damit

klarer wird. Wir haben das Quadrat einer natürlichen Zahl n größer 1 ist um eins größer als das Produkt

der beiden benachbarten Zahlen von n. Als das ist um eins größer als das Produkt der beiden

benachbarten Zahlen. Na gut, das soll dann gezeigt werden. Das Problem ist, was heißt das

eigentlich? Mathematisch irgendwie rechnen können die Schüler meistens noch mit Buchstaben ist

natürlich schon schwierig, aber dann auch noch irgendwie selber so eine Gleichung erstellen,

die dann irgendwie nachzuprofen ist, ist schwieriger und die trauen nicht dem, was sie lesen. Das ist

zumindest meine Erfahrung bei meinen Schülern. Das liegt natürlich immer an dem Niveau, wo man

gerade unterrichtet. Aber die lesen was und ja, die trauen sich da nichts daraus zu machen. Oder

wenn sie was rechnen, trauen sich auch nicht, das hinzuschreiben oder so. Ja, die sind dann

oftmals sehr vorsichtig. Aber eigentlich muss man ja nur loslegen. Quadrat einer natürlichen Zahl n,

also n Quadrat. Jetzt immer bis hier hin, also im Moment brauchen wir auch nicht das Größe 1,

das kann man sich hinterher überlegen, ist um eins größer. Also das Ding ist um eins größer,

also wenn ich eins abziehe, ist es gleich. Also minus eins davon, dann wird es gleich sein,

als das Produkt der beiden benachbarten. Was sind denn die benachbarten? Die benachbarten von n

natürlich, ist n plus eins und n minus eins. N plus eins mal n minus eins und dann ist natürlich

klar, das ist die dritte binomische Formel. Und ja, insofern ganz einfach und sofort klar.

Das nächste ist ähnlich gelagert. Differenz zweier aufeinander folgender Quadratzahlen ist ungerade.

Zweier auf einander folgender Quadratzahlen ungerade. Ja, was heißt denn das?

Aufeinander folgende Quadratzahl, damit ist natürlich, wenn wir irgendwie eine Zahl haben

und deren Quadrat, dann ist die darauffolgende Quadratzahl, das ist natürlich das Quadrat von

n plus eins. Wenn ich die Differenz nehmen will, dann schreibe ich das so, weil n plus eins Quadrat

die größere ist, dann habe ich eine positive Zahl. Das ist ungerade. Na gut, warum? Also ich

nehme wieder binomische Formeln, steht da n Quadrat plus 2n plus eins minus n Quadrat, dann geht das

natürlich weg und dann habe ich hier mit 2n plus eins sicherlich eine ungerade Zahl. Also ist auch

nicht viel dahinter. Also das ist klar, dass das ungerade ist. Dann die dritte, die schon irgendwie

mehr Zahlen theoretisch so, passt dann noch mehr zu den Teilbarkeitssachen, die wir bislang so gemacht

haben. Da ist die Behauptung, 3 teilt die Differenz n hoch 3 minus n für alle n größer gleich?

Fragezeichen, Fragezeichen, Fragezeichen. Also da habe ich mir gedacht, naja, dann kann ich

sicher selber mal überlegen, für welche n das gilt. Darum Fragezeichen, Fragezeichen, Fragezeichen.

Und da im Moment ja die Übungen entweder gar nicht korrigiert werden oder es ist vollkommen egal,

was dabei rauskommt, kamen jetzt auch nicht viele Nachfragen. Sonst habe ich das immer in anderen

Semestern. Da werde ich bombardiert, wenn irgendwas in den Leuten nicht so ganz klar ist. Also ich

würde erst mal sagen wie vorher, man guckt erst mal, was hier gilt und dann hat man schon

ein bisschen geschrieben und dann überlegt man sich, naja, für welche Zahlen hilft das denn nun. Also

erst mal, warum teilt das das? Ich schreibe hier mal n hoch 3 minus n an und dann irgendwie das

übliche, was man den Schülern immer einbläuen muss, wenn die irgendwie Nullstellen suchen oder

sonst was, klammert aus, wenn eben geht. Irgendwie, ich nenne das auch mal aufräumen, also erst mal

klammere ich ein n aus, dann steht da n² minus 1. Naja, jetzt haben wir wieder wie oben die dritte

binomische Formel, dann steht da also n mal n plus 1 mal n minus 1. Noch klarer wird das, wenn ich

die in einer anderen Reihenfolge hinschreibe, n mal n minus 1 mal n mal n plus 1. Das könnte ich

eigentlich sagen Schluss. Richtig, klar. Na ja, wir haben hier drei aufeinander folgende Zahlen. Egal,

wie ich anfange mit den drei Zahlen. Eine von denen muss durch drei teilbar sein. Find ich drei,