Ja, herzlich willkommen.

Wir lassen, wie letztes Mal angekündigt, jetzt also die Aussagenlogik hinter uns und

beschäftigen uns mit einer ausdrucksstärkeren Logik, der sogenannten Prädikatenlogik. Genauer

gesagt mit der Prädikatenlogik erster Stufe. Kurz Abkürzung für den englischen Terminus

First Order Logic oder kurz Voll. Diesen Terminus schreibe ich evidenterweise nie wieder an die

Tafel. Ja, was ist denn nun so ein Prädikat, über das da im Namen der Logik geredet wird?

Nun, ein Prädikat ist eine Aussage über Individuen. Das hatten wir bisher nicht. Wir hatten in

der Aussagenlogik zwar Aussagen, aber diese Aussagen waren nur schlechthin. Die redeten

nicht über jemanden oder etwas, die waren halt einfach nur für sich genommen, wahr oder

falsch. Selbst wenn in unseren Motivationsbeispielen so Dinge wie Regen und ich und Schirme vorkamen,

war das eben nur Schall und Rauch in den Namen dieser Aussagen und in Wirklichkeit wusste

die Logik nichts von Regen oder von mir oder von Schirme. Sie kennen alle solche Aussagen,

zum Beispiel n kleiner gleich m. Das ist eine Aussage, die Sie jederzeit ohne Zögern verwenden

würden. Das ist halt eine Aussage über zwei Individuen. Typischerweise verstehen wir die

als zwei Zahlen, obwohl darüber bisher vielleicht noch nichts gesagt ist. Lesen wir halt als

m ist größer gleich n oder n ist kleiner gleich m. Das gibt es in kleinerer Stelligkeit.

Das weiß ich. Even von n oder sowas. Zahl n ist gerade. Oder vielleicht in einer Sprache,

wo wir sowohl über Buchstaben als auch über Strings reden können. Hier vielleicht so

ein Prädikat contains, was also über einerseits einen Buchstaben und andererseits einen String

redet oder solche Dinge. Das heißt, der Name der Prädikatenlogik rührt daher, dass jetzt

also hier über solche Aussagen, in denen tatsächlich mal über Individuen gesprochen wird, hier

logisches Schlussfolgern betrieben wird. Ich habe deswegen insbesondere also Variablen

zur Verfügung, mit denen ich solche Individuen bezeichne. Wir sehen hier bereits welche,

also n und m und a und w und sowas. Das wären typischerweise Variablen. Und damit einher

geht als natürliches weiteres Sprachfeature der Gebrauch von Quantoren. Und das ist vielleicht

das eigentlich Entscheidende, was in dieser Logik dazu kommt. Ich kann also so Dinge sagen

wie für alle x oder auch für mindestens ein x. Ein Quantor ist halt etwas, was andeutet,

wie viele Elemente der Grundgesamtheit eine bestimmte Eigenschaft haben. Typischerweise

strengt man sich eben auf diese beiden sehr naheliegenden ein, wo eben wie viele eingeschränkt

ist auf entweder für alle oder eben auf mindestens ein. Ja, genauer stellt sich das folgendermaßen

da. Wir brauchen etwas Anlauf. Wir können also nicht, wie im Falle der Aussagenlogik,

einmal in einer halben Zeile eine Grammatik hinschreiben und das war's, sondern man braucht

schon ein bisschen mehr Material. Zunächst mal muss ich festlegen, über welche dieser

Prädikate, von denen ich gerade erwähnt habe, meine Logik nun überhaupt redet. Zum Beispiel

über sowas wie kleiner gleich oder even oder contains. Gut, das entspricht in etwa der

Tatsache, dass wir am Anfang, als wir die Aussagenlogik eingeführt haben, wir einen

Vorrat an atomalen Propositionen unterstellt haben, der nun durchaus auch mal von Mal zu

Mal verschieden sein könnte. Hier hat so eine Signatur etwas mehr Struktur. Wir bezeichnen

Signaturen typischerweise mit griechischen Buchstaben aus der Nachbarschaft von Sigma.

Da wir nicht endlos viel Akrobatik mit Signaturen betreiben werden, reicht uns meistens Sigma

aus. So eine Signatur besteht im Allgemeinen aus zwei Anteilen, nämlich aus zwei Mengen.

Zunächst mal eine Menge, die schreibe ich, wenn sich die Notwendigkeit ergibt, als P-Index

Sigma. Ich glaube, die Notwendigkeit ergibt sich mehr oder weniger nie, aber ich mache

es mal auf Vorrat. Eine Menge P-Sigma von Prädikatensymbolen. Ich klammer das Wort

Symbole mal ein, weil sowohl zum Sprechen als auch zum Schreiben da immer das vollständige

Wort Prädikatensymbol auszuschreiben oder auszusprechen Krampf ist. Wenn also keine

Gefahr der Verwechslung mit anderen Konzepten besteht, werde ich so ein Ding oft auch einfach

ein Prädikat nennen. Das wären eben gerade solche Dinge, wie wir sie hier sehen, Kleiner

Begleich, Contains Even und andere Dinge. Und einer zweiten Zutat, die, ja, streng genommen

eher Luxus ist, aber die Schreibweise wirklich dann sehr vereinfacht. Einer weiteren Menge