Der Aus-Sagen-Logik

Dürben

Frau Span-Einstein

Ja, ich erinnere kurz daran, wo wir letztes Mal stehen geblieben sind.

Wir hatten die Semantik definiert

der Aussagen-Logik.

Semantik generell ist befasst mit der Frage, in welcher Situation ist eine Formel,

die zunächst mal ja reine Syntax ist, in einem tatsächlich bedeutungstragenden Sinne erfüllt.

Diese Frage beantwortet sich im Fall der Aussagenlogik eben relativ einfach dadurch,

dass ich sage, gut, eine Situation, in der ich eine Formel auswerte,

ist schlicht und einfach eine Zuweisung von Wahrheitswerten an die propositionalen Atome.

Das heißt, eine Abbildung kappa von der Menge a in die Menge der Wahrheitswerte,

die wir hier der einfache Teil mit dem Symbol 2 bezeichnen.

Und wir hatten eine Erfülltheitsrelation definiert, den doppelten Turnstile,

zwischen solchen Wahrheitsbelegungen und propositionalen Formeln

durch Rekursion über die Struktur der Formeln.

Das heißt, wir hatten gesagt, kappa erfüllt eine atomare Aussage a,

genau dann, wenn nun eben in kappa drinsteht, dass a wahr ist.

Weiter, kappa erfüllt eine Konjunktion phi und psi, genau dann, wenn Tarski-Semantik

über deren philosophische Schwierigkeiten wir uns am Ende der letzten Sitzung unterhalten hatten,

genau dann, wenn kappa phi erfüllt und außerdem kappa auch psi erfüllt.

Und letzte Klausel der Semantiknegation, kappa erfüllt nicht phi,

genau dann, wenn kappa phi eben nicht erfüllt,

das will ich mal dadurch andeuten, dass wir hier das Erfülltheitszeichen durchstreichen.

Aus dieser Definition ergibt sich jetzt einfach durch Expandieren der entsprechenden Abkürzungen,

auch ergeben sich Charakterisierungen der Erfülltheit von Formeln,

die sich durch unsere definierten Junkturen zusammensetzen, wie zum Beispiel Disjunktion und Implikation.

Wir machen das einfach mal, also kappa erfüllt die wahre Proposition true einfach immer,

umgekehrt, die konstant falsche oder absurde Proposition wird nie erfüllt.

Moment, jetzt muss ich das hier so schreiben, dass man wirklich das kappa erkennt.

Was gab es noch? Disjunktion.

Kappa erfüllt phi oder psi, genau dann, wenn kappa erfüllt phi oder kappa erfüllt psi, inklusiv oder.

Das ist alles sehr selbstverständlich, alle diese Konnektive übersetzen sich schlicht und einfach eben in Metakonnektive, wenn man so will.

Ja, weiter. Kappa erfüllt eine Implikation, phi impliziert psi, genau dann, wenn,

falls kappa phi erfüllt so auch psi.

Wohlgemerkt, wenn kappa phi nicht erfüllt, ist hier nichts zu zeigen und.

Letzte Äquivalenz kappa erfüllt phi Äquivalent zu psi, genau dann, wenn kappa erfüllt phi, genau dann, wenn kappa erfüllt psi.

Wohlgemerkt, es gibt zwei Möglichkeiten, wie diese rechte Aussage wahr werden kann.

Nämlich entweder wenn kappa beide Aussagen nicht erfüllt oder wenn kappa beide Aussagen erfüllt.

Gut, machen wir mal ein richtiges Beispiel, wo wir also die Rekursion, die da stattfindet, auch wirklich sehen.

Also Beispiel.

Nehmen wir mal als Formel.

Folgende Formel A und was ist das noch? A oder nicht B impliziert B.

Und das Ganze über einer Evaluation, die erfüllt kappa von A gleich.

War und kappa von B gleich falsch.

Ja, dann können wir ausrechnen.

Ob kappa eben diese Formel hier erfüllt.

Ja, dabei müssen wir uns klar machen. Hier diese.

Erfülltheit hier ist also eine Implikation, ja, also falls kappa.

Den in diesem Fall die vordere Formel, den Antecedent nennt sich das, einer Implikation erfüllt.