Herzlich willkommen.

Wir hatten ganz kurz mit den Co-Algebräen angefangen beim letzten Mal.

Also mit dem Kapitel Co-Algebra.

Nochmal ganz kurz zur Wiederholung. Was ist eine Co-Algebra?

Dazu betrachtet man also einen Endofunktur auf einer Kategorie.

Genau wie bei Algebren auch. Und dann sind als Objekte Co-Algebra aber dual zu Algebren.

In dem Sinne, dass man also wirklich die Morphismen rumdreht.

Also eine Co-Algebra, das ist so ein Paar bestehend aus einem Objekt von C und einer Strukturabbildung.

Wie hatten wir die genannt? Klein C wahrscheinlich? Ja, das macht auch Sinn.

Also von C nach F von C, genau umgekehrt wie bei Algebren der Pfeil.

Und Co-Algebra, Homomorphismen, ich kürze das dann mal hier ab, Co-Algebra, Homom.

Das sind dann, also wenn man zwei solche Geräte hat, C und D, mit ihren Strukturen Klein C und Klein T,

dann sind es also Morphismen in der Kategorie C, sodass das entsprechende Quadrat, was hier entsteht, dann kommutiert.

Also hier mache ich den Funktur auf diesen Morphismus von C.

Und also Co-Algebra Morphismus ist halt so ein Morphismus H, sodass das Quadrat kommutiert.

Und dann ist es so, Identitäten sind solche Homomorphismen, denn wenn ich hier eine Identität einsetze,

dann habe ich hier auch Identität und dann steht ja hier C und Klein C.

Und dann ist das Quadrat einfach trivial.

Und wenn man zwei solche Quadrate aneinander klebt, dann sieht man das Homomorphismen komponieren.

Also die Komposition von zwei ist wieder einer.

Das heißt, ich kriege also eine Kategorie, die heißt sinnvollerweise dann Co-Alge F.

Und das letzte, was wir uns noch angeschaut hatten, war, wie ist es jetzt genau mit der Dualität hier?

Also ist es jetzt einfach dual zu Algebren in diesem kategoriellen Sinne, dass man eine Kategorie nimmt und das duale bildet.

Und das passt nicht hundertprozentig.

Also es stimmt schon irgendwie, es ist dual zu Algebren, aber zu was für Algebren?

Also Co-Alge F, und das ist jetzt schon nicht mehr Definition, das ist sozusagen Bemerkung.

Ist gleich zu Algebren von dem Punkt F-Ob und dann das ganze Ob.

Und das ist insbesondere nicht das Gleiche.

Das hatte ich auch bemerkt wie Alt von F, Ob.

Also das sieht man, hier ist noch ein Ob mehr als da.

Also was passiert hier ist, man guckt diesen Punkt F-Ob an.

Das ist ja ein Endofunkt von C-Ob nach C-Ob.

Und eine Algebra hiervon zu sein, das bedeutet also eine Algebra in C-Ob zu sein.

Das ist also ein Objekt von C und ein Morphismus von F von C nach C in C-Ob.

Und das ist eben das Gleiche wie ein Morphismus von C nach F C zu sein in C.

Und das war es gerade, wie wir Co-Algebren definiert haben.

Gut, und dann hier hat man ja die Morphismen umgedreht.

Und weil aber die Morphismen hier, die sind natürlich keine Morphismen in C-Ob, sondern Morphismen in C,

dann drehe ich es wieder mit Ob richtig zurück.

Also das äußere Ob sorgt dafür, dass die Morphismen dann wieder genauso gehen wie in C.

Das noch mal als Erklärung zu dieser Gleichung.

Und die hatte ich übrigens dafür angeführt zu sagen, naja, wenn man ganz pure kategorielle Ergebnisse hat,

dann kann man die natürlich dualisieren und die gelten auch für Co-Algebren,

weil sie insbesondere natürlich für Algebren für F-Ob gelten.

Wenn ich aber so was habe, was irgendwie spezifisch an der Grundkategorie hängt,

also beispielsweise was über Mengen Co-Algebren, dann kann ich das nicht einfach sagen,

dieses oder jenes Ergebnis gilt per Dualität, weil das hängt, es sei denn, das gilt auch für Set-Ob.

Also es hängt eigentlich gar nicht an Mengen.

Aber also wir haben schon Dinge gesehen, wie finitäre Funktoren und sowas, die halt sehr mengentheoretisch waren.

Und alles, was man darüber sagt, das wird sich nicht so ohne weiteres dualisieren lassen.