Wir sind vorgedrungen bis zur Logik erster Stufe.

Und zwar als ein prototypisches Beispiel einer Logiksprache, also einer universellen Sprache,

die auf der Skala sozusagen von Ausdrucksmächtigkeit und Einfachheit, wenn es mehr Richtung Ausdrucksmächtigkeit geht.

Wie der Name schon sagt, Erste Ordnung, da kann es noch mehr geben und das ist tatsächlich richtig.

Es gibt noch wesentlich ausdrucksmächtigere Sprachen, die braucht man auch für viele Sachen.

Aber logisch erster Stufe hat es einen Sweetspot zwischen Einfachheit und Ausdrucksstärke.

Wir haben uns das anhand eines Beispiels angeguckt, diese Blockswelt.

Blockswelt ist eine der KI-Standard-Benchmarks.

Da hat man Blocks und Roboterarm, da muss man die aufeinander stapeln und abstapeln und solche Dinge.

In diesem Fall habe ich Blockswelt genommen, um zu zeigen, was wollen wir ausdrücken.

Eine Sache, die wir ausdrucken möchten, wir möchten über Objekte sprechen.

Insbesondere wollen wir etwas über alle Objekte sagen.

Das ist genau das, was Prädikatenlogik 1. Stufe kann.

Alle Blöcke sind rot. Es gibt einen Block, der heißt C. Ähnliche Dinge wollen wir sagen.

Der Trick ist, dass man das natürlich auch in der Aussagenlogik sagen kann.

Aber wenn man das tut, sind die Aussagen, so etwas wie alle Blöcke sind rot, sind atomar.

Das heißt, man kann nicht in die Aussagen reingucken und kann nichts darüber schließen, dass z.B. Block A rot ist.

Wenn man gleichzeitig sagen kann, alle Blöcke sind rot, dann muss man daraus auch schließen können, dass Block A rot ist.

Das ist das, was wir dazulernen wollen gegenüber der Aussagenlogik.

In dieser Sprache kann man sagen, für alle x, wenn x ein Block ist, dann ist x rot.

Wir sehen, dass wir das Ganze erkaufen mit Komplexität.

Statt dass man P impliziert Q hat, hat man jetzt diese komischen für alles, man hat x usw. als Variable.

Diese Variablen gehen nicht mehr über Aussagen, sondern über Individuen, Objekte wie die Blöcke hier.

Oder die Studenten in dieser Vorlesung.

Oder alle natürlichen Zahlen.

Es ist überhaupt kein Problem, über unendliche Domänen zu reden, was in der Aussagenlogik ein Problem ist.

Wenn man sich vorstellen würde, dass man den Wumpus in eine unendlich große Höhle schickt,

dann hat man mit unserem Ansatz, den wir hatten, nämlich für jede Zelle eine Aussagenvariable Wumpus in dieser Zelle zu haben,

dann kommen wir in Unendlichkeitsprobleme.

Während in einer stärkeren Logik können wir ohne Weiteres über unendliche Dinge reden, über unendliche Zahlenbereiche,

über unendliche Universen reden.

Aber, there is no free lunch, man erkauft sich das durch Sprachkomplexität.

Und wir werden sehen, nicht nur durch Sprachkomplexität, sondern durch Modellkomplexität und Kalkülkomplexität und alle solchen Sachen.

Das ist immer eigentlich, was passiert.

Wir hatten uns angeguckt, wenn wir über unendliche Bereiche reden wollen, zum Beispiel die natürlichen Zahlen, das ist immer der einfachste unendliche Bereich,

der einem so einfällt, dann kann man eben die üblichen Dinge sagen.

Wenn x gerade ist, dann ist der Nachfolger vom Nachfolger von x auch gerade.

Das macht eine Aussage in endlicher Zeit, mit endlich vielen Symbolen, über unendlich viele Objekte.

Das muss uns einer erstmal nachmachen.

In der Aussagenlogik geht das nicht.

Dann kann man so richtig schwere Sachen auch sagen, wie zum Beispiel den Satz von Fermat, wo man 100 Jahre gebraucht hat, um den zu beweisen.

Das ist etwas, was schwierig ist.

Es ist so, dass man in dieser Logik gibt es, wir werden es sehen, wir werden uns die Sprachdefinition angucken,

gibt es Kalküle, die vorständig und korrekt sind, die man sogar implementieren kann, die sie vielleicht sogar in Übungsaufgaben implementieren

und wo man KI-Systeme bauen kann, die solche Beweise automatisch finden.

Nicht den da, der ist ein bisschen weit weg.

Aber Sachen, wo Sie wahrscheinlich fünf Minuten überlegen müssten,

können wir in solchen Beweisern in 50 oder 20 Millisekunden beweisen.

Sachen, wo Sie dann zehn Minuten überlegen müssen, können wir gar nicht mehr beweisen.

Da ist dann so eine Diskontinuität im Prinzip wieder.