Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, grüß Gott zusammen. Nochmal ein Hinweis zu den Aufgaben, jetzt nochmal speziell auf dieses dritte Aufgabenblatt.

Wir hatten da eine Aufgabe, die gewiss ein bisschen schwer war, vielleicht zu schwer. Ich werde jetzt auch in Zukunft etwas genauer drauf schauen, bevor die Aufgaben rauskommen.

Das andere ist, wir hatten andererseits auch sehr leichte Aufgaben, zum Beispiel den Nachweis der Vektorraum-Eigenschaft des Raums der Treppenfunktionen, des Raums der stetigen Polygonzüge.

Das sind Aufgaben, die Sie, wie würde da eine ganz kurze und ob und effiziente Lösung ausschauen? Man rechnet einfach die Unterraum-Eigenschaften nach.

Dann muss man natürlich auch begründen, dass es reicht, die Unterraum-Eigenschaften nachzurechnen.

Das heißt also, man muss einen Raum angeben, der diese besagten Räume umfasst und von dem wir die Vektorraum-Eigenschaft in der Vorlesung schon verifiziert haben.

Das ist alles, das ist die Situation und wenn Sie absolut sicher sein wollen, dass auch der Tutor versteht, was Sie da aufschreiben, dann müssen Sie explizit die Sätze, Bemerkungen oder was auch immer mit allen Nummern zitieren, die Sie verwenden.

Wenn Sie natürlich nur die Unterraum-Eigenschaften nachweisen, ist das ein unvollständiger Beweis, den man je nach Gutmütigkeit zwischen 0 und 100 einschätzen kann.

Aber bei einem dritten Teil, zum Beispiel am Folgenraum, da reduziert sich der Beweis auf einer Achtelzeile. Der Beweis bedeutet M gleich N, N wie natürliche Zahlen und Satz sowieso.

Wobei ich jetzt nicht weiß, was Satz sowieso ist, aber das war der Satz, der ausgesagt hat, die Menge der Abbildungen von einer beliebigen Grundmenge, nicht leeren Grundmenge in die reellen Zahlen, sind mit der punktweise definierten Addition und Skala, Multiplikation und Vektorraum.

Also wir haben auch sehr einfache Aufgaben, man muss sie nur als auch entsprechend einfach und aber auch vollständig gestalten. Manchmal geht es halt auch ein kleines bisschen schief.

Wie gesagt, diese Gruppentheorieaufgabe, die war für meinen Geschmack im Nachhinein etwas zu schwierig. Ich werde in Zukunft darauf schauen, dass keine zu schwierigen Aufgaben kommen, aber das ändert nichts daran, dass die Arbeit bei Ihnen liegt.

Gut, also zum Stoff. Wir hatten festgestellt, wir haben auf dem RN ein ganz konkretes Skalarprodukt, das euklidisches Skalarprodukt, was uns schon an allen Ecken und Enden begegnet ist bei der Formulierung einer Gleichung eines linearen Systems, dementsprechend bei der Definition einer Hyper-Ebene usw.

Und wir haben festgestellt, welche Eigenschaft hat dieses Skalarprodukt und sind auf diesen Katalog von Eigenschaften gekommen. Jetzt kann man natürlich so a priori nicht sagen, sind das jetzt wesentliche Eigenschaften oder nicht.

Das heißt, das ist natürlich auch ein geschichtlicher Prozess dahinter in der Entwicklung der Mathematik, den wir jetzt in keiner Weise nachvollziehen können oder tun.

Wir schauen uns sozusagen immer nur das Endprodukt an. Das Endprodukt ist, dass sich herausgestellt hat, diese Eigenschaften für das euklidische Skalarprodukt sind sehr wichtige Eigenschaft.

Bilinarität, Symmetrie, Definiteit. Deswegen haben wir den Abstraktionsschritt vollzogen und haben gesagt, ein beliebiger Vektoraum, der eine solche Abbildung hat, die zweier Vektoren, einen dritten Zuart, die also von V-Kreuz-V nach V geht, die nennen wir,

eine solche Abbildung nennen wir Skalarprodukt und den Vektoraum dementsprechend Vektoraum mit Skalarprodukt, wenn diese Abbildung bilinar, symmetrisch und definit ist.

So, jetzt brauchen wir natürlich ein paar Beispiele, die uns zeigen, so was kann auch auftreten, wenn man nicht den Rn hat. Oder vielleicht brauchen wir vielleicht auch ein paar Beispiele auf dem Rn, die etwas anders sind als das euklidische Skalarprodukt.

Jetzt haben wir schon, ich will den Raum Funktionenräume kennen gelernt und einer, der noch einigermaßen handlich ist, ist der Raum der stetigen Funktionen auf einem Intervall a, b mit Werten in den reellen Zahlen.

Ich gehe jetzt mal davon aus, dass Sie alle in der Schule irgendwie eine Vorstellung vom Integralbegriff mitbekommen haben. Wer das Wort integral noch nie gehört? Okay, das sieht da schon mal ganz gut aus. Heutzutage ist alles möglich.

Okay, dann wissen Sie vielleicht auch, dass stetige Funktionen integrierbar sind. Ich weiß nicht, wie sehr Sie da in die Tiefe eingestiegen sind in der Schule, ob Sie den Integralbegriff mit so was wie Riemannschen Summen begründet haben.

Hat das schon mal gehört, Riemannsche Summen? Da wird es schon etwas lichter, wesentlich lichter. Okay, also jedenfalls, wenn Sie es nicht wissen, dann nehmen wir es einfach zur Kenntnis, man kann stetige Funktionen integrieren, auch wenn man vielleicht das integral nicht immer unbedingt ausrechnen kann.

Also eine geschlossene Formel eingeben kann, eine Stammfunktion angeben kann. Das Produkt zweierstetiger Funktionen ist auch stetig, das werden Sie relativ schnell in der Analysis kennenlernen.

Das heißt also erst mal kann ich diesen Ausdruck hier bilden. Ich nehme die beiden Funktionen. Was ich ja möchte ist, ich möchte ein Skalarprodukt definieren. Jetzt muss ich noch mal schauen, habe ich da vielleicht einen? Nee, passt schon.

Ich möchte ein Skalarprodukt definieren, das heißt ich muss zwei Elemente aus dem Vektoraum hernehmen, das heißt also jetzt hier zwei Funktionen und muss denen eine Zahl zuordnen.

Und diese Zuordnung muss eben genau diese Eigenschaften Bilinarität, Symmetrie, Definität haben. Dann mache ich das so, ich multipliziere die beiden Funktionen miteinander, bekomme eine neue stetige Funktion, die kann ich integrieren, das liefert mir eine Zahl.

Das ist die Definition. So, jetzt muss ich diese ganzen Eigenschaften überprüfen. Wieso ist denn zum Beispiel die Bilinarität gegeben? Welche Eigenschaft des Integrals spielt hier dann eine Rolle?

Also Bilinarität heißt, vielleicht machen wir es bloß mal mit der Summe, ich ersetze das F durch ein F1 plus F2, habe hier entsprechend F1 plus F2 in Klammern mal g von x.

Und jetzt muss ich zeigen, diese Zahl ist das gleiche, als wenn ich F1 g plus F2 g bilde. Also ist es das gleiche, als wenn ich das Integral über F von x mal g plus das Integral über F, F1 x mal g von x plus das Integral über F2 x mal g von x bilde.

Also hier innen kann ich erstmal ausmultiplizieren, dann habe ich also eine Summe zu stehen. Und was ich also ausnutze und was sie bestimmt benutzt haben, wenn sie mal irgendwann konkret Integrale ausgenutzt haben, dass das Integral einer Summe die Summe der Integrale ist.

Okay, das ist also sozusagen hier der Hintergrund der Bilinarität. Symmetrie ist ganz einfach, wenn ich F und G vertausche, dann mache ich das ja hier in den reellen Zahlen, da tut sich nichts, also tut sich mit dem Integral nichts.

Was ich noch, die Positivität ist auch klar, wenn ich hier F gleich G habe, habe ich einen Integranten F und x Quadrat oder F und x Betrag Quadrat, ist vielleicht besser zu sagen. Und das Integral über eine Funktion größer als Null ist auch größer als Null.

Was etwas diffiziler ist und was ein bisschen mehr Analysis am Ende dieses Semesters, werden Sie das hoffentlich beweisen können, mit Ihren Analysis-Kenntnissen ist zu verifizieren, dass wenn ich eine stetige Funktion F habe, mir das weiß, das Integral von F und x Betrag ist gleich Null, dass das nur geht, wenn F gleich Null ist.

Anschaulich ist das klar, das Integral ist irgendwie sowas wie die gewichtete Fläche zwischen, also mit Plus oder Minus gewichtete Fläche zwischen der Achse und dem Grafen, wenn meine Funktion nur größer als Null ist und ich sozusagen keine negative Fläche habe, die eine positive Fläche aufheben kann.

Also natürlich kann das Integral über eine Funktion Null sein, ohne dass die Funktion Null ist, wenn ich eben entsprechende Anteile mit positiven und negativen Argumenten habe, aber hier habe ich ja dann nur eine Funktion, die ist nur größer als Null und die Aussage ist, wenn das ganze Integral verschwindet, dann geht das nur, wenn die Funktion überall gleich Null ist.

Ok, ich glaube anschaulich klar, ein bisschen eine Lücke im Beweis und es zeigt uns, dass wir jetzt auf diese Weise jetzt auch ein Skalarprodukt auf dem Raum der stetigen Funktionen haben.

Haben Sie eine Vorstellung, warum damals, ich weiß nicht, wer es war, Leibniz oder wer auch immer, dieses seltsame Zeichen fürs Integral eingeführt haben? Steht da vielleicht ein Zeichen hier auf der Folie, was damit zu tun hat? Nämlich, ja, das Summenzeichen, genau, das ist wie so eine Art lang gestrecktes Summenzeichen.

Und was ein Integral wiederum mit einer Summe zu tun hat, das ist jetzt wieder Aufgabe der Analysis, Ihnen das näher zu bringen, aber wir können das jetzt relativ schnell sehen, wenn wir jetzt mal auf einen Teilraum gehen und wir gehen mal auf den Raum der Treppenfunktionen.

Und ich wende mal jetzt dieses Skalarprodukt auf den Raum der Treppenfunktionen an. Jetzt müssten Sie eigentlich sofort protestieren, warum? Warum müssen Sie jetzt protestieren?

Ja, weil die nicht stetig sind. Aber wir werden uns später sehen, wie wir uns dabei helfen können. Dass hier die stetigen Funktionen stehen, ist nicht unbedingt zwingend.

Es muss da etwas stehen, was gerade diesen Schluss der Definitei zulässt. Es müssen sozusagen Funktionen da stehen, die die Eigenschaft haben. Wenn ich eine Funktion habe, ich schaue mir das Integral über F² an, oder ich habe eine Funktion, die größer als Null ist, dann schaue ich mir das Integral an, das Integral ist Null, dann muss daraus folgen, dass die Funktion Null ist.

Das ist der eigentliche Grund, weshalb wir uns hier auf die stetigen Funktionen beschränkt haben. Wenn man diese unsere stückweise konstanten Funktionen anschaut, sieht man, da gilt genau das Gleiche.

Denn da kann man das Integral aufbrechen in die einzelnen Teilintervalle und dann ist man mit ganz einfachen Funktionen dazu gegangen, die auf jeden Fall stetig sind.

Also in dem Sinne können wir sozusagen diese ganze Begrifflichkeit auch auf diesen Raum übertragen. Und jetzt rechnen wir das einfach mal aus, was da rauskommt.

Und vielleicht sehen Sie es auch schon sofort, vielleicht schreiben wir es auch noch mal hin. Ja, okay, ich glaube wir können das vielleicht im Kopf machen.

Also, was ist denn jetzt wieder los, das ist der falsche. Also, wir versuchen jetzt mal auszurechnen.

Also hier im Allgemeinen, ja gut, wir können maximal sagen, ja die Zahl gibt es, aber für sehr komplizierte Funktionen können wir das nicht ausrechnen.

Vielleicht haben Sie auch schon die eine oder andere Funktion mal genannt bekommen, wo man sagt, okay, hier gibt es wirklich keine Stammfunktion, hier kann man keine Stammfunktion angeben.