Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Also wir waren dabei, für verschiedene lineare Abbildungen in Form ihrer Darstellungsmatrizen kennenzulernen.

Die haben auch sehr viel mit Geometrie zu tun. So haben wir ja angefangen.

Wir haben mit einem ganz geometrischen Begriff, dem der Bewegung angefangen, festgestellt,

Bewegungen sind ganz spezielle oder zumindesten solch den Nullpunkt

erfestlassen, sind ganz spezielle lineare Abbildungen mit zusätzlichen

Eigenschaften, was wir orthogonale Transformation genannt haben und dieses

Zusammenspiel zwischen dem abstrakten Teil und geometrischen Vorstellungen,

die müssen sie auch für sich pflegen, um das irgendwie für sie über das formale

Handhaben hinaus nutzbar zu machen. Ein sehr geometrischer Begriff ist ja der der

orthogonalen Projektion und wir sind jetzt einen Schritt weitergegangen, haben den

Begriff der Projektion etwas verallgemeinert, indem wir gesagt haben,

wir geben die Bedingung auf, dass der Fehler, also sozusagen die zweite

Komponente, indem man ein Element x zerlegt, wenn man es in p von x und in x

minus p von x zerlegt, dass dieser Fehler im orthogonalen Komplement des Raums

sein muss, auf dem projiziert wird, sondern lassen letztlich da einen

beliebigen weiteren Unterraum zu, das heißt, der dann eine direkte Summe mit

dem Projektionsraum bildet, das heißt der Begriff ist jetzt

verallgemeiner dazu, dass eine Projektion im linearen Fall einfach eine

Abbildung ist, die zweimal hintereinander ausgeführt wiederum sie selbst ist,

beziehungsweise in Matrizen umgesetzt, wo man dann von I ten Potenz der Matrix

spricht, ist das die Eigenschaft a² gleich a.

Okay.

Im Wesentlichen ist die Situation dann die, man kann entweder vorgehen und sagen,

ich habe eben eine Projektion, die auf einen Unterraum u projiziert, dann ist

das u per Definition eben das Bild dieser Projektion und der Kern dieser

Projektion produziert gerade einen Unterraum, der indirekt das Summe den

Raum v ergibt, damit haben wir sozusagen mit der Differenz i't minus die

Projektion jetzt eine weitere Projektion auf diesen anderen Unterraum und das

ganze kann man also völlig symmetrisch aufziehen, man kann also auch andersrum

vorgehen und sagen, okay ich habe einfach irgendeine Zerlegung eines

Vektorraums in eine direkte Summe, das muss jetzt nicht keine autogonale

Zerlegung sein, dass wenn wir eine autogonale Zerlegung hätten, würden wir

wieder auf eine autogonal oder auf autogonal Projektionen zusteuern und

diese direkte Zerlegung wiederum produziert mir Projektionen, indem ich einfach in der

eindeutigen Darstellung des Elementes bezüglich dieser Summation immer nur die

x1 oder die x2 Komponente herausgreife, den x1 oder x2 Anteil herausgreife.

Muss natürlich verschiedenstes nachrechnen, muss nachrechnen, das sind

Projektionen, dazu gehört diese Kringel-P gleich P Eigenschaft und dazu gehört

natürlich insbesondere auch die Linearität der Abbildung. Das haben wir

soweit alles gemacht und jetzt können wir speziell eben autogonale Projektionen

sozusagen in dieser größeren Klasse der Projektionen identifizieren, als eben die,

deren Kern gerade das autogonale Kompliment ist oder wo eben der sozusagen

der zweite Raum gerade eben das autogonale Kompliment des ersten Raums ist.

Schauen wir uns das nochmal konkret an, die autogonalen Projektionen oder wesentliche

autogonale Projektionen und jetzt wieder schlagen wir wieder den Bodensbogen zu

den Matrizen. Wir haben gesehen,

erst mal die extremalen sozusagen Unterräume, die ich im endlich-

dimensionalen Raum haben kann, sind natürlich die eindimensionalen Räume und

die N-1-dimensionalen Räume, wenn der Grundraum N-dimensional ist.