Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, Grüß Gott zusammen. Wir sind im Endsport begriffen.

Vielleicht noch mal kurz eine Bemerkung zur Vorbereitung.

Es hat sich leider herausgestellt, kein Mensch ist perfekt und auch keine Arbeitsgruppe ist perfekt.

Es sind doch ein paar, das hat ja auch zu entsprechenden Ausgaben von Schokolade geführt.

Druckfehler im Buch aufgetaucht. Ich glaube, bis zu der Stelle wirklich nichts Gravierendes, keine tiefen inhaltlichen Fehler,

sondern einfach Schreibfehler, die man schon erkennen kann, aber natürlich nichtsdestotrotz irritierend.

Es gibt mittlerweile eine hoffentlich relativ vollständige Fehlerliste.

Die finden Sie, wenn Sie auf meine Website gehen, dort auf die Website Bücher und dann auf das LA-Buch.

Dort finden Sie diese Materialien. Das heißt, wenn Sie mal an einer Stelle hängen und meinen, da kann doch irgendwas nicht passen,

dann wäre das eine sinnvolle Variante, mal dort das zu vergleichen.

Wir werden zwar nicht ganz so weit kommen, wie ich mir das vorgestellt habe in der Vorlesung, aber zumindest noch bis zum kleinen Finale.

Ich glaube, es erübrigt sich zu sagen, dass der Stoff auch dieser Vorlesung noch klausurrelevant ist.

Nicht, weil wir Sie ärgern wollen, sondern weil das zu einem ersten Abschluss oder Zwischenschritt,

wie ich schon gesagt habe, in der Eigenwerttheorie führt.

Gut, was haben wir jetzt bisher gesehen? Wir hatten gesehen,

Diagonalisierbarkeit ist nichts anderes zu sagen, als es eine Basis aus Eigenvektoren gibt.

Das heißt also, ich muss genügend viele linear unabhängige Eigenvektoren finden können.

Wenn ich überhaupt keine Eigenwerte habe, tue ich mir da natürlich schwer.

Insofern hat das auch was mit dem Körper zu tun, über den ich mich da bewege.

Und ich habe immer die Möglichkeit, wenn ich ein Problem über einen gewissen Körper K anschaue,

eventuell zu einem Oberkörper, wie gesagt, wieder nur mathematisch zu verstehen,

überzugehen, der vielleicht in der Hinsicht, das heißt, was die Existenz von Nullstellen eines

und damit des charakteristischen Polynoms betrifft, sozusagen bessere Aussichten bietet.

In unserem Fall ist das konkreter der Übergang von R nach C.

Wir fassen also eventuell auch eine reelle Matrix als eine komplexe Matrix auf,

haben dann dementsprechend auch nur, nur in Anführungszeichen, komplexe Eigenwerte

und auch dazu nur komplexe Eigenvektoren.

Okay, gut, also jetzt nochmal zurück, wie kriegen wir jetzt hinreichend viel lineare unabhängige Eigenvektoren her?

Wir wissen ja, der Eigenraum, das heißt die Menge aller Eigenvektoren zu einem festen Eigenwert plus der Null,

der hat mindestens als Vektorraum die Dimension eins.

Das heißt also einen Eigenwert, einen Eigenvektor haben wir zu jedem Eigenwert.

Wenn wir jetzt also wissen, dass, und andererseits hatten wir gesehen,

es war das letzte Satz in der letzten Vorlesung, dass Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten eine direkte Summe bilden,

dass also Auswahl von Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten immer linear unabhängig sind.

Das heißt, dieses Problem entsteht dann, wenn ich sozusagen zu einem Eigenwert,

der vielfach auftritt im charakteristischen Polynomen, wenn ich da zu wenig Eigenvektoren finde.

Das Problem kann aber nicht passieren, wenn ich eben verschiedene, wenn ich sicherstellen kann,

dass alle Nullstellen erstmal da sind und auf paar Weise verschieden sind.

Das heißt also, wir bekommen zu dieser hinreichenden Aussage ganz allgemein über einen beliebigen Körper für Diagonalisierbarkeit.

Voraussetzung ist, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt

und dass alle Nullstellen paarweise verschieden sind.

Wir begründen das gleich nochmal genauer.

Was jetzt hier insbesondere drinsteckt, ist noch eine weitere sozusagen basisnotwendige Bedingung,

nämlich das Zerfallen in Linearfaktoren.

Ohne das geht es sowieso nicht.

Also, Diagonalisierbarkeit bedeutet immer, das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren.

Das heißt, es hapert sozusagen nicht an der Existenz von Eigenwerten oder daran darf es auf jeden Fall nicht scheitern,

wenn es keine gibt. Wie gesagt, natürlich keine Diagonalisierbarkeit.

Aber wenn es auch zu wenige gibt, in dem Sinne, dass ich eben nicht Nullstellen im Polynom habe,