Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, grüß Gott zusammen. Wir fangen heute ein neues Kapitel an.

Also, können Sie sich erstmal ein bisschen zurücklehnen.

Das wird jetzt erstmal viel elementaren Vorlauf bedeuten.

Erholen von der letzten Vorlesung. Das Kapitel ist nicht unbedingt Standard in einer dienenalgebra Vorlesung.

Insbesondere auch nicht in den dienenalgebra Büchern.

Wenn Sie da mal reinschauen, ist aber ein Thema, was Sie überall finden.

Wenn Sie in ein Buch reinschauen, was Optimierung heißt oder was vielleicht auch Wirtschaftsmathematik

oder Mathematik für Wirtschaftswissenschaften oder wie auch immer heißt, dann ist das ein absolut zentrales Thema.

Wir haben das damals auf dem Hintergrund der Wirtschaftsmathematik mit in den Kanon aufgenommen.

Und ich zumindest nehme dieses Thema sehr, sehr ernst.

Das wird also insbesondere auch Teil der Klausurprüfung sein, da alle Unklarheiten vorher zu beseitigen.

Und zwar geht es um zwei Aspekte, die sehr eng miteinander zusammenhängen.

Das eine ist Polyedertheorie. Was ein Polyeder ist, wissen Sie, haben Sie vielleicht eine Vorstellung davon,

wie sich das jetzt algebraisch in das einfügt, was wir bisher gemacht haben, werden wir gleich sehen.

Das ist das eine und das andere ist lineare Optimierung.

Wir haben schon erste einfache Aufgabenstellung der quadratischen Optimierung gesehen, mit Gleichungsnebenbedingungen.

Es gibt das Ganze auch mit Ungleichungsnebenbedingungen, was vielleicht etwas realistischer ist.

Denn wir haben ja gesehen, wenn ich quadratische Optimierung mit Gleichungsnebenbedingungen mache,

ist das eigentlich noch gar keine richtige Optimierung.

Denn es ist ja, und das ist ja gerade die Aussage des Satzes über Lagrange-Multiplikatoren,

wiederum nichts anderes als das Lösen von Gleichungssystemen.

Und zwar das Lösen eines Gleichungssystems, nicht das iterative, approximative Lösen von Gleichungssystemen.

Das ist sozusagen typisch für jedes komplexe mathematische Problem,

denn wir können nichts anderes als Gleichungssysteme lösen.

Das heißt, wir müssen jedes noch so komplexe Problem darauf reduzieren,

dass wir eine Sequenz, vielleicht eine sehr, sehr große Sequenz von sehr, sehr großen Gleichungssystemen eventuell lösen.

Okay, worum soll es da jetzt also gehen?

Ich mag das jetzt nicht, er ist zu viel verlangt. Moment.

Och, nee. Jetzt hat er. Okay.

Also man kann das sozusagen eher von dem Gesichtspunkt der Polyedertheorie sehen,

dann ist es ein Stück Geometrie zumindest, oder auch eben in unserer Ausformung ein deutliches Stück lineare Algebra.

Oder man kann es sehen von dem Aspekt der linearen Optimierung und da insbesondere vom algorithmischen Aspekt.

Und dann geht es eher in die angewandte Mathematik rein und ist sozusagen ein absolutes Kerngebiet,

zumindestens für jede ökonomische Anwendung oder auch für viele andere Anwendungen.

Wir werden gleich sehen, nochmal unsere Erinnerung rufen, dass viele, zum Beispiel logistische Fragestellungen,

sich in natürlicher Weise in dieser Form schreiben lassen.

Im Zentrum der Überlegungen und darauf wollen wir hinsteuern und das wollen wir rechtfertigen,

ist das sogenannte Simplex-Verfahren. Das ist mittlerweile so etwa 60, 70 Jahre alt.

Und es ist immer noch das Arbeitspferd bei all diesen Fragestellungen.

Mittlerweile sind etwa modernere, zum Teil bessere Verfahren hinzugekommen.

Das muss ich aber da auf eine entsprechende Optimierungsvorlesung verweisen.

Aber was das Simplex-Verfahren betrifft, das werden wir vollständig besprechen

und wir werden noch so viel Theorie entwickeln, dass es vollständig gerechtfertigt ist, was wir da machen.

Wir kommen dadurch aus, wenn man so will, bis zu einer Implementierung des Simplex-Verfahrens.

Also wenn Sie das machen wollen oder nachvollziehen wollen, das können Sie dann am Schluss tun.

Okay, fangen wir mal prinzipiell an mit was ist, was die Problematik ist.

Wenn ich ein unterbestimmtes Gleichungssystem habe, A x gleich b,

sagen wir also mit weniger Zeilen als Unbekannten, als Spalten,

aber ich setze mal voraus, dass der Zeilenrang voll ist, dass ich also hier nicht unnütz sozusagen Bedingungen hingeschrieben habe,