Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, grüß Gott zusammen. Wir hatten letztes Mal angefangen, nicht nur uns mit Polyedern,

sondern speziell mit beschränkten Polyedern zu beschäftigen als die typischen Einschränkungsmengen,

wie sie bei linearen Optimierungsproblemen auftreten. Beschränktheit heißt einfach

Beschränktheit bezüglich irgendeiner Norm, wegen der Äquivalenz der Normen auf dem RN

oder auf einem endlich dimensionalen Raum, was wir später noch genauer untersuchen werden.

Es ist relativ egal, welche wir nehmen, sie können die euklidische, die Maximumsnorm,

was auch immer sie wollen. Und als Charakterisierung von Beschränktheit hatten wir diesen Satz gesehen,

hier steht noch die alte Bezeichnung unendlich für unbeschränkt. Also respektive hier ist es

eben die Charakterisierung von Unbeschränktheit, damit natürlich in der Verneinung auch eine

Charakterisierung von Beschränktheit. Wir haben gesehen, eine Menge ist dann unbeschränkt, genau

dann unbeschränkt, wenn es einen Punkt gibt, durch den ein ganzer Strahl läuft bzw. sogar

verschärft, wenn durch jeden Punkt des Polyeders ein ganzer Strahl läuft, der im Polyeder verbleibt.

Und algebraisch kann man das dadurch charakterisieren, dass es einen von null verschiedenen Vektor gibt,

sodass die Ungleichungen, die das Polyeder definieren, alle an diesem Vektor ein Wert

größer gleich null produzieren. So, wir wollen jetzt diese Algebranchen, diese geometrischen

Untersuchungen, natürlich eben Geometrie im RN, nicht im R2 oder R3, mit Betonung auf großen N.

Insofern ist es wichtig einerseits eine geometrische Vorstellung zu entwickeln, andererseits aber

natürlich auch die Beweise schon in den Begriffsaparat, den wir haben, zu führen und nichts anderes zu

benutzen. Also wir wollen jetzt das ein bisschen vertiefen, ich werde nicht alle Beweise machen,

weil uns auch ein bisschen die Zeit davon läuft. Und die erste Bemerkung, die ist recht offensichtlich,

da muss man nicht viel machen. Jedes beschränkte endimensionale Polyeder, was ist denn heute da los?

Warum rückkoppelt das? Jedes beschränkte endimensionale Polyeder hat mindestens

N plus eins Seiten der Dimension N minus eins, also der eins niederdimensionalen Dimension.

Solche Seiten der Dimension N minus eins können wir natürlich ganz einfach produzieren,

indem wir uns eben N minus eins der Ungleichungen hernehmen und mit der Zusatzbedingung,

dass diese linear, Moment langsam, die können wir dadurch produzieren, dass wir einfach uns eine

der Ungleichungen hernehmen und damit eben eine Seite der Dimension eins tiefer produzieren.

Die Frage ist, kriegen wir auch N plus eins hin? Die Frage ist also, haben wir überhaupt N plus

eins linear unabhängige Ungleichungen, die das Polyeder erzeugen? Vielleicht schauen wir uns mal

im R2 an. Da gibt es einerseits das Dreieck oder die entsprechenden höher eckigen Varianten des

Dreiecks als abgeschlossenes Polyeder. Die haben eben N plus eins oder mehr als N plus eins Ecken

und sobald ich da drunter gehe, zum Beispiel nur zwei Ecken nehme im R2, dann kriege ich keinen

Beschränktes, kriege ich zwar einen Polyeder hin, ich kriege sogar eins hin ohne Ecken, aber ich

kriege halt kein Beschränktes hin. Das heißt also, daran muss es liegen und das ist tatsächlich so,

man kann dann so argumentieren, wenn es sozusagen zu wenig Ungleichungen gibt, dann muss es auch so

einen, dann muss dieser Satz von Ungleichungen einen Lösungsvektor, dann muss das zugehörige

homogene Gleichungssystem einen Lösungsvektor produzieren, der gerade auf diesen Vektor A

hinausführt, den wir hier noch mal in der Charakterisierung gesehen haben. Das heißt also,

wenn es zu wenig Ungleichungen gibt, gibt es so einen Vektor A, wie in der dritten Variante dieses

Charakterisierungssatzes und damit muss das Polyeder unbeschränkt sein, respektive jetzt in

der Überlegung heißt das, im beschränkten Falle habe ich also mindestens N plus 1 Ungleichungen

und damit kann ich mindestens N plus 1 Seiten der Dimension N minus 1 produzieren. Okay, wenn ich die

habe, dann geht das sukzessive runter und das heißt also, jedes beschränkte Polyeder hat Ecken. Das ist,

was wir ja im allgemeinen Fall eben nicht hatten und was manchmal das Leben unschwer macht, wenn

man sich also gleich auf beschränkte Polyeder beschränken würde, was würde alles viel einfacher

sein, aber es gibt halt doch manchmal auch Fälle, wo auch bei der Lineraren Programmierung die

Einschränkungsmenge unbeschränkt ist. So, die nächste Aussage, die ist es auch eine sehr schöne

geometrische Aussage, die hat auch den Vorteil, dass sie relativ einfach zu zeigen ist, deswegen

wollen wir die auch noch mal zeigen und zwar ist die Aussage, ein beschränktes Polyeder ist die