Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Okay, fangen wir an.

Wir sind im Endspurt begriffen, haben jetzt mit dem Begriff der Bitline A-Form angefangen,

indem wir einen ganz großen Schritt letztes Mal gemacht haben und jetzt wieder im Takt sind.

Das heißt also, was ich eigentlich das letzte Mal noch bezweifelt habe,

inzwischen bin ich da wieder guter Dinge, dass ich zum Abschluss der Vorlesung das klassische Gebiet der Quartriken,

also der Flächen zweiter Ordnung und damit insbesondere auch der Kegelschnitte besprechen kann,

ein schönes, klassisches Gebiet der Mathematik, also ziemlich irrelevant,

aber natürlich hochrelevant für die Lehramtsstudenten, weil das ein typischer Bestandteil der Staatsexamensprüfung ist.

Ob Sie das dann in vier, fünf, sechs Semestern noch wissen?

Okay, aber wir haben es auf jeden Fall schon mal dann besprochen.

Und wir werden es auch so algorithmisch besprechen, dass man die damit zusammenhängende Frage

nach der Klassifikation von Quadriken auch wirklich auch algorithmisch angehen kann.

Also jetzt noch mal, was ist die Situation? Wir befassen uns mit Bilinearformen.

Das haben wir schon vorher gemacht, aber wir haben uns vorher mit speziellen Bilinearformen befasst.

Das ist jetzt zum großen Teil auf allgemeinen Körpern.

Dann später, wenn wir uns Quadriken anschauen, werden wir das auf der reellen Zahl machen.

Und im Zweifelsfall denken Sie sich immer der reellen Zahlen.

Die komplexen Zahlen sind tatsächlich nur bedingt.

Jetzt hier Beinhalt, das hatten wir letztes Mal auch schon diskutiert,

weil sozusagen unsere Standardform auf den komplexen Zahlen oder auf dem C hoch N,

die uns ja dann ein inneres Produkt und damit eine Norm liefert, das ist ja keine Bilinearform,

die hat diese Variante, dass der Skalar aus der zweiten Komponente nur als Lambda quer herauskommt.

Sowas nennt man dann auch eine Sesquilinearform.

In den Folien und im Buch ist das damit beinhaltet, dass der etwas allgemeinere Begriff der Alphabilinearform

da diskutiert wird, mit dem Ziel eben diese beiden Begrifflichkeiten unter einen Hut zu packen.

Jetzt aus Zeitgründen habe ich das jetzt mal gestrichen, das heißt, überall wo so ein Alpha,

so ein Körperautomorphismus Alpha auftaucht, ist der gleiche der Identität.

Also zu Deutsch wir betrachten nur Bilinearformen und letztendlich wir betrachten im Wesentlichen den reellen Fall.

Wir hatten jetzt gesehen, eine Bilinearform und zwar beschränken wir uns auch hauptsächlich hier

zwei endlichdimensionale Räume, auch wieder mit Blick auf die Quadriken.

Und wir hatten gesehen, genauso wie im endlichdimensionalen Fall, wir eine lineare Abbildung

zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen über ihre Darstellungsmatrix darstellen können

und auf diese Weise eine Isomorphie zwischen den Hormomorphismen und den entsprechend dimensionierten Matrizen bekommen,

haben wir hier genau die, erst mal die gleiche Situation.

Wir können eine Bilinearform über eine Matrix darstellen, nämlich über eine Grammische Matrix,

das heißt, es ist alles basisabhängig, das heißt, wir nehmen die Basis V1 bis Vn,

setzen die in Form Vj, Phi, i in die Bilinearform Phi ein und bekommen auf diese Weise das ij-Element,

also wir haben da einen Tausch in der Abfolge der Indizierung, so wie wir es schon allgemein bei der Grammischen Matrix gesehen haben,

bekommen so die Darstellungsmatrix.

Wir haben wieder eine Bi-Aktion zwischen den Matrizen auf dieser Ebene und den Bilinearformen auf zwischen endlichdimensionalen Räumen.

Das heißt, jede noch so bescheidene Matrix, also bescheiden in dem Sinn, die mag singulär sein oder was auch immer, erzeugt uns eine Bilinearform.

Und wir haben sozusagen nur die schöne Hälfte bisher angeschaut, wo die Matrizen symmetrisch waren und sogar positiv definiert.

Wenn wir aber jetzt in Richtung Quadriken gehen wollen, wo es ja nicht nur eben die Quadrik sozusagen zur Einheitsmatrix gibt,

die uns dann auf den Kreis führen würde, sondern eben auch die Quadrik mit den Diagonaleinträgen 1, minus 1,

da haben wir zum Beispiel schon mal negative Eigenwerte auch dabei, die uns auf die Hyperbale führen würde,

sondern wir haben eben auch die Quadrik zur Matrix 1, 0, die uns dann auf die Parabel führt, das heißt, wir müssen sozusagen alle Fälle mit berücksichtigen.

Wir müssen auch die Singularität der Matrix zulassen können.

Das ist so ein bisschen der klassisch geometrische Anwendungshintergrund für diese etwas allgemeinere Theorie.

Ein ganz wesentlicher Punkt ist jetzt, wo unterscheidet sich jetzt sozusagen diese Sichtweise auf Matrizen als Bilinearformen auf der einen Seite