Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir sind dabei für allgemeine, das heißt also im Allgemeinen nicht diagonalisierbare Matrizen

unter der Voraussetzung, dass also konkret wir den Körper C haben oder abstrakt,

dass wir einen, was man dann eben entsprechend allgebräisch abgeschlossenen Körper nennt, haben

oder auch eine Situation, wo wir einfach wissen, ganz konkret für diesen Operator, diese Matrix zerfällt

das charakteristische Polynom in Linearfaktoren. Für diese Situation sind wir jetzt erst einmal dabei,

eine möglichst einfache Normalform zu finden, die Jordansche Normalform.

Und in einem weiteren Schritt werden wir dann auch für den Fall reeller Matrizen mit komplexen Eigenvektoren

dann die entsprechende reelle Analog-Gond-Versuche aufzustellen.

Wir sind jetzt schon so weit, dass wir, wenn wir uns die paarweise verschiedenen Eigenwerte anschauen,

sagen wir Lambda 1 bis Lambda k, dass wir k invariante Unterräume gefunden haben,

die sich konkret dargestellt haben als die sogenannten Haupträume oder Räume für allgemeinerte Eigenvektoren.

Was bedeutet, dass man nicht den Kern von Matrix oder Operator minus Lambda Identität anschaut,

sondern von diesem Operator die Erdepotenz nimmt, wobei er gerade die algebraische Vielfachheit nimmt.

Durch dieses Potenzieren werden die Kerne immer größer und wir vergrößern damit also den Eigenraum,

bis wir einen Raum erhalten, der die Eigenvektoren erhält, plus etwas Zusätzliches, eben diese Hauptvektoren,

sodass wir auf diese Weise schon mal eine Blockdiagonalzerlegung bekommen.

Wir wissen von den Blöcken, die können Sie als obere Dreiecksmatrizen wählen.

Das ist eine Folge der Schurnormalform.

Und wir sind jetzt dabei, dieses obere Dreieck noch möglichst einfach zu gestalten.

Dazu dient uns der Begriff der Kette und darauf aufbauend der Kettenbasis.

Damit haben wir uns das letzte Mal beschäftigt.

Wir haben also gesehen, dass wir eine Kette dann bekommen, wenn wir mit einem von Null verschiedenen Vektor starten

und immer wieder den Operator auf diesen Vektor loslassen und dann aufhören,

wenn zum letzten Mal ein von Null verschiedener Vektor entstanden ist.

Das heißt also, das letzte Element in der Kette ist jetzt etwas aufwendig gesprochen,

ein Eigenvektor zum Eigenwert Null, beziehungsweise später, wenn wir dann diese Kette umdrehen als Teil unserer Basis,

starten wir mit einem Eigenvektor und dann kommen weitere Hauptvektoren, die keine Eigenvektoren sind.

Also so eine Kette ist eine linear unabhängige Menge, wenn wir verschiedene Ketten zusammenstellen,

sodass jeweils die Menge aus den letzten Elementen, also aus den Eigenvektoren,

linear unabhängig sind, dann bekommen wir auch eine linear unabhängige Menge.

Das heißt also, wir können später eine Basis des Eigenraums hernehmen, das produziert uns dann diese Lambda-RKV-K,

können die Kette aufbauen, also hier in der Schreibweise dann auch rückwärts genommen,

und können auf diese Weise dann hoffentlich eine Basis bestehend aus verschiedenen Ketten,

die dann in der rückwärtigen Schreibweise jeweils an einem Eigenvektor starten,

hier in der Schreibweise einem Eigenvektor enden, dann auf diese Weise aufbauen.

So, jetzt ist hier die ganze Zeit vom Eigenwert Null die Rede, das ist aber kein so,

wir haben natürlich verschiedene Eigenverte, wo Null vorkommen kann oder auch nicht,

das ist aber jetzt nicht so sehr der Punkt, denn das Wesentliche für diesen invarianten Raum ist,

dass es auf dem invarianten Raum nur einen einzigen Eigenwert gibt.

Das heißt also, wenn wir sozusagen um diese Vielfachheit der Identität verschieben,

sind wir genau in der Situation Eigenwert Null und wir sind in der Situation dann bei Operatrix-Matrix,

dann einer nilpotenten Matrix.

Das heißt also, wir können hier zugrunde legen, dass wir uns nilpotente Matrizen oder Operatoren anschauen,

und im nilpotenten Fall wissen wir, dass mit den Ketten funktioniert.

Wir können irgendwo bei einem Nicht-Null-Element starten und dann nach endlich vielen Schritten ende diese Kette.

Das können wir im Allgemeinen auch, aber wir wissen, da ist es nicht garantiert, dass die Kette jeweils endet.

Im nilpotenten Fall hat jede Kette, so wie wir es hier im Begriff zugrunde gelegt haben, eine endliche Länge.

Okay, so, jetzt wollen wir das Ganze zusammenpacken und allgemein eine Aussage,

eine Normalform für nilpotente lineare Operatoren finden.