Also ich gebe ja zu, die Jordanormalform ist auch nicht mein Lieblingsthema, aber wir haben

es ja auch bald hinter uns. Das einzige was jetzt noch aussteht, ist die reelle Form der

Jordanormalform. Wobei, dass man sich schon schon an fünf Fingern abzählen kann, was

hier passiert, denn wir haben, das ist jetzt schließlich, wenn man es genau nimmt, zum

dritten Mal, dass wir, dass wir sozusagen uns gefragt haben, und was ist denn dann,

wenn ich eine reelle Matrix habe, die Eigenwerte aber komplex sind und ich aber doch lieber

eine reelle Darstellung haben möchte und nicht eine komplexe Darstellung, um das eben besser

zu verstehen, weil ich besser verstehe, was eben Operationen mit reellen Zahlen sind.

Und da hatten wir schon gesehen, was passiert.

Ja, im Wesentlichen ist es die Frage bei der Schurnormalform, was ist die reelle Form der

Schurnormalform und dann sehen wir eben, naja, die komplexen Eigenwerte zusammen mit ihrem

komplex konjugierten, die ergeben dann eben einen, im Reellen dann einen zweidimensionalen

invarianten Unterraum, auf dem eine Drehstreckung stattfindet, die gerade durch realen und imaginär

Teil des einen komplexen, echt komplexen Eigenwerts gegeben ist.

Und wenn man so will, kann man diese Situation natürlich auch übertragen in die diagonalisierbare

Situation.

Ich habe eine diagonalisierbare Matrix, aber die Eigenwerte sind komplex, dann stellt sich

das genauso dar und jetzt kann man dreimal raten, wie das eben bei der Jordan-Normalform

dann aussehen wird.

Wir werden uns das aber trotzdem ein bisschen überlegen.

Also nochmal, was ist die Situation?

Wir betrachten jetzt eine reelle Matrix.

Sofern die reelle Matrix nur reelle Eigenwerte hat, ist alles so, wie wir es bisher gemacht

haben.

Wenn sie komplexe Eigenwerte hat, dann bekommen wir alles in der komplexen Form.

Wenn wir mit der nicht zufrieden sind, müssen wir noch ein bisschen was anstellen.

Und das, was wir aber anstellen müssen, ist nicht mehr so schrecklich viel, denn wir haben

ja diesen konstruktiven, die reelle Schurnormalform haben wir schon, das habe ich schon erwähnt.

Dann haben wir gesehen, wie wir aus der reellen Schurnormalform in die Blockdiagonalform kommen

können, über die Lösung von Silvestergleichungen.

Das haben wir uns auch für sozusagen die Situation mit komplexen Eigenwerten und Eigenvektoren

einer reellen Matrix überlegt, sodass das einzige, was noch fehlt, der Aufbau der Kettenbasen

ist.

Das heißt also, wir haben schon die Blockdiagonalsituation, wir müssen jetzt nur noch die Kettenbasen

aufbauen.

Also das, was jetzt hier angeführt ist, was zu machen ist, das haben wir im Wesentlichen

schon gemacht.

Was ist jetzt überhaupt der Unterschied zwischen der reellen oder was macht uns diese Probleme

im reellen?

Das Problem ist halt, dass R kein algebraisch abgeschlossener Raum ist, dass nicht jedes

Polynom von nicht konstante Polynomen Nullstellen hat oder anders gesagt, dass die irreduziblen

Faktoren, sozusagen die Primfaktoren im Ring der Polynome eben nicht nur Linearfaktoren

sind.

Aber es ist nicht so ein großer Unterschied, denn wir wissen ja, wenn wir eben komplexe

Eigenwerte haben, dann treten die im Paaren auf.

Also wenn wir CL haben, haben wir auch CL quer und das können wir ausmultiplizieren.

Und wenn wir diese zwei sozusagen Linearfaktoren, das sind also sozusagen die glanzen Bausteine

im Komplexen, wenn wir die ausmultiplizieren, bekommen wir ein reelles Polynom zweiten Grades,

was sich im Reellen eben nicht weiter zerlegen lässt, weil es eben keine reellen Nullstellen

gibt und das ist dann sozusagen unser irreduzibler Baustein, mit dem wir hier zu tun haben.