Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir hatten letztes Mal angefangen uns zu überlegen, dass im Fall einer positiv definierten Matrix,

einer definitiven Matrix, es nicht nur so ist, dass man auf jeden Fall eine LR-Zerlegung machen kann.

Wir wissen ja, das geht nicht immer. Das spiegelt sich im Allgemeinen darin wider,

dass man eben das Gaußverfahren nicht ohne Zahlenvertauschung im Allgemeinen anwenden kann,

sondern eben in dem Prozess auf Null-Pivotelemente eventuell stößt, die man dann durch Vertauschung von Null verschiedene Zahlen ersetzen muss.

Bei positiv definierten Matrixen ist das nicht so. Das ist die eine Feststellung.

Und die andere ist, man kann da sogar noch einen Schritt weitergehen und man kann diese unsymmetrische LR-Zerlegung

zu einer symmetrischen LL-adjungiert-Zerlegung machen unter Aufgabe der Normiertheit der unteren 3x-Matrix L.

Aber man ist sich sicher, dass die Werte, die auf den jeweiligen Diagonalen stehen, positive Zahlen sind.

Da wollen wir uns nochmal die Beweise für anschauen.

Erster Schritt ist der, wir hatten ja mal festgestellte Charakterisierung für die Existenz einer LR-Zerlegung,

ist die Tatsache, dass nicht nur die Determinante der Matrix selbst, sondern die Determinante aller dieser Haupt-Untermatrizen AR,

die also dadurch entstehen, dass ich jetzt, dass ich die ersten R-Zahlen und die ersten R-Spalten nehme

und dadurch also eine kleinere RR-Matrix mache. Es fängt also an mit dem ersten Element oben in der linken oberen Ecke.

Das muss von Null verschieden sein und dann geht das sukzessive weiter.

Das ist eigentlich ein unüberprüfbares oder nicht mit vertretbarem Aufwandsüberprüfbare Kriterium.

Aber jetzt hier im Fall der positiv definierten Matrizen können wir dieses Kriterium verifizieren.

Wir können nämlich zeigen, dass alle diese Determinanten sogar positiv sind.

Das heißt, wir haben die LR-Zerlegung und der nächste Schritt wäre dann, sie in dieser Form hier zu symmetrisieren.

Gut, dann wollen wir das mal uns im Beweis anschauen. Die Idee ist recht einfach.

Wir hatten letztes Mal schon festgestellt, die Matrix selbst, die hat eine positive Determinante als positiv definite Matrix,

weil sie eben, weil eben alle ihre Eigenwerte positiv sind und die Determinante das Produkt dieser Eigenwerte ist.

Aber auch diese Haupt-Untermatrizen stellen sich jetzt auch als positiv definit heraus.

Und damit natürlich, und damit natürlich, dass die Determinante von A i größer Null ist.

Also wir wissen A positiv definit, daraus folgt die Determinante von A gleich das Produkt der Eigenwerte lambda i ist positiv.

Wenn wir wissen, auch die Haupt-Untermatrizen sind positiv definit, dann haben sie entsprechend auch eine positive Determinante.

Wie zeigen wir das? Wir müssen nur in der Definition der positiv Definitheit uns auf entsprechende Vektoren beschränken.

Was wir zeigen wollen, wir wollen ein Vektor y sagen wir mal aus dem Kr hernehmen und wollen uns anschauen, was ist A i,

ein bisschen hochgerutscht ist das i, das heißt ein Index i, A i y y.

Wollen also zeigen, diese Zahl ist nur im Fall, ist im Fall y ungleich Null größer Null.

Dieses y können wir aber doch ergänzen zu einem Vektor, jetzt habe ich die Notation gerade getauscht, aber ich glaube es ist egal,

können wir ergänzen zu einem Vektor x, wo ich erst die y Komponenten nehme und das ganze mit Nullen auffülle.

Das ist ein langer Vektor. Jetzt habe ich gerade y und x getauscht, aber ich hoffe das ist erträglich.

Wenn ich mir jetzt anschaue auf der anderen Seite, was ist denn jetzt A x x?

Dann ist es gerade dieser Ausdruck, denn was passiert? A x, ich biete die A-Kombinationen der Spalten von A,

aber eben nur der ersten R-Spalten von A und mit diesem Vektor bilde ich jetzt wieder ein Skalarprodukt,

da trauchen aber nur die ersten R-Komponenten auf, weil eben die weiteren auch wieder Null sind,

das heißt ich beschränke mich gerade auf die Matrix A i. Da bei x eben auch ungleich Null ist, wenn y ungleich Null ist,

ist dieser Ausdruck positiv und die Geschichte ist erledigt.

So, zweiter Teil, die LR-Zerlegung. Das heißt wir wissen, aus Teil 1 wissen wir jetzt,

mithilfe dieses jetzt mehrfach zitierten Satzes, das nummer ich jetzt nicht weiß,

2.155 war das, wenn es jemanden interessiert, es existiert eine LR-Zerlegung.

Also ich kann schreiben als A gleich L mal R und L ist normiert.

Wir hatten uns auch, ich glaube im Rahmen von Übungsaufgaben angeschaut, dass man auch dann das ein bisschen anders machen kann,

dass eine andere Art von Zerlegung immer möglich ist, wenn ich eine LR-Zerlegung habe.

Ich habe ja die Freiheitsgrad sozusagen, die Diagonaleinträge zwischen L und R hin und her zu schieben.

Kann man nicht auf der einen Matrix eine Diagonalmatrix rausnehmen und die andere Matrix reinschieben,

die beendet das eben nichts an der unteren bzw. oberen Dreiecks-Eigenschaft.

Und hier bei der normalen LR-Zerlegung mache ich es eben so, die ganze Normierung kommt auf das L, da setze ich es eben gleich eins.