Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Guten Morgen zusammen. Wir hatten uns letztes Mal mit Namen beschäftigt, speziell auf Operatorräumen,

also konkret auf Matrizenräumen. Wir haben den Begriff der submultiplikativen Namen,

der verträglichen Norm, der erzeugten Norm kennengelernt und haben jetzt einige von diesen erzeugten

Normen ausgerechnet. Das sind jetzt ganz wesentliche Ergebnisse, die man sozusagen im unendlichen

Wissensspeicher auf jeden Fall ablegen sollte. Wir hatten gesehen, die unendliche Name, die

Maximumsname auf dem Tupelraum erzeugt die Zeilensummen-Name auf dem Matrizenraum. Analog

erzeugt die Eins-Norm, die Spaltensummen-Norm auf dem Matrizenraum. Das hat den Vorteil,

dass sie Normen, die man sozusagen der Matrix direkt ansehen kann, mit geringem Aufwand.

Die vielleicht wichtigere Norm kann man leider der Matrix nicht so leicht ansehen. Das ist

die, die von der euklidischen Norm erzeugt wird. Die heißt dann Spektralnorm, weil sie

tatsächlich die Wurzel aus der betragsgrößten Eigenwert der Symmetrischen Matrix, der selbstadjungierten

Matrix im Allgemeinen A adjungiert A ist. Wir wissen, wenn wir uns an die Konstruktion

der Singulärwertzerlegung erinnern, das ist gerade der größte Singulärwert in einer

normierten Singulärwertzerlegung. Das zeigt also nochmal, was die Singulärwerte wirklich

ausdrücken. Also der größte Singulärwert ist der größte Streckungsfaktor sozusagen,

der in der euklidischen Norm durch diese Abbildung realisiert wird. Und nur in dem Fall, das haben

wir soweit gezeigt, und leider nur in dem Fall, dass die Matrix normal ist, können wir

einen direkten Zusammenhang zwischen der Spektralnorm und den Eigenwerten der Matrix selbst herstellen.

Nämlich dann in dem Fall ist die Spektralnorm und da kommt der Name dann her, der Spektralradius,

der betragsgrößte Eigenwert. Dieser letzte Teil ist relativ einfach zu zeigen. Er nimmt

natürlich darauf Bezug, deswegen diese Voraussetzung der Normalität, dass wir eine unitäre Diagonalisierbarkeit

haben. Diagonalisierbarkeit ist notwendig, um auf die Eigenwerte zugreifen zu können.

Unitär ist notwendig, um nicht mit der euklidischen Norm sozusagen in Konflikt zu geraten. Das

heißt also, was wissen wir, wenn die Matrix normal ist, wissen wir, Stichwort Hauptachsen-Transformation,

es gibt eine Ortonormalbasis aus Eigenvektoren. Schreiben wir es mal so, wir könnten es auch

gleich in Matrix-Schreibweise schreiben können, aber schreiben wir es einfach mal jetzt vektoriell

hin. Also es gibt eine Ortonormalbasis, nennen wir die mal V1 bis Vn aus Eigenvektoren zu

den Eigenwerten lambda i. Ja, und dann wissen wir, wenn wir ein Vektor x in eindeutiger

Weise bezüglich dieser Basis darstellen, das ist immer bezüglich einer Ortonormalbasis

so, dann haben wir einen Zusammenhang zwischen der Norm des Vektors, ich schreibe es mal

als Quadrat, und der euklidischen Norm des Darstellungstupels, das ist nämlich gleich.

Also es ist egal, ob ich jetzt die euklidische Norm hier zum Quadratbild oder das Darstellungstupel

hernehme, davon die euklidische Norm. Also hier meine ich mir der Zweinorm, die, ja,

hier im konkreten Fall ist es wirklich die euklidische Norm, im allgemeinen Fall wäre

das die von dem Betreffenden Skalarprodukt erzeugte Norm. Okay, was bedeutet das jetzt

für a x? Da wir ja Eigenwerte und Eigenvektoren haben, heißt das, in jede Richtung wird nur

gestreckt, das sieht also genauso aus mit dem Streckungsfaktor lambda i da drin. Und

das wiederum hat zur Folge genau das gleiche Argument, dass die Norm von a x zum Quadrat,

ich schreibe es mal explizit hin, die euklidische Norm eben dieses Tupelvektors ist, das heißt

also ich habe hier die alpha i Quadrat oder alpha i Betrag Quadrat, die lambda i Betrag

Quadrat, summiere auf, und jetzt kann ich trivialerweise nach oben hier durch den Betragsgrößten,

den schreibe ich mal so, abschätzen und übrig bleibt, wie ich hier oben gesehen habe, die

alpha Norm Quadrat bzw. die x Norm Quadrat. So, jetzt sind wir schon fast fertig, nun

steht schon da der Spektralradius der Matrix, das ist ja das, was hier steht, der Spektralradius

der Matrix ist eine Beschränktheitskonstante. Das einzige, was wir noch sehen müssen, ist

dass es die Bestik Beschränktheitskonstante ist, das heißt wir brauchen hier eine Gleichheit,

das heißt wir müssen hier einen Vektor x angeben, sodass wir hier Gleichheit haben.

Welchen wählen wir da? Vorschlag? Gibt es den? Ich darf also sozusagen in dieser Abschätzung,

die ich hier mache, nichts verschenken, wäre vielleicht ganz gut, wenn nur das, ja, den