Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, das war ja nochmal dieses Bild hier, was Sie vielleicht in Ihren Werkstattkundevorlesungen

kennen. Dankeschön. Von so einem Fallglittergitter und in dem können dann eben diese Defekte

auftauchen, wie zum Beispiel Stufenversetzungen, die sich eben dann dadurch auszeichnen, dass

man bei so einem geschlossenen Umlauf dann eben nicht wieder rauskommt, wo man angefangen

hat. Das kann man so ein bisschen klassifizieren in verschiedene Arten von Versetzungen, die

sogenannten Stufenversetzungen, das wären die Fälle B, C und D. Sorry, die Stufenversetzungen,

die Fälle B und C und dann die Schraubenversetzungen, die Screw Dislocations, die Fälle D. Und dann

gibt es noch andere Typen, die was mit Fehlstellen in der rotatorischen Ausrichtung dieser Kristallgitter

zu tun haben. So, das war ja aber nur so ein bisschen so die Motivation für uns und wir

haben das dann versucht zu formalisieren, so ein bisschen im Rahmen der Beschreibung der

Kinematik, wie wir die benutzen. Und dann sollte jetzt das Bild hoffentlich wieder kommen.

Und wir haben im Grunde einfach das wieder angeschrieben, was wir eben da in dem Bild

sehen haben, eben diesen Umlauf. Tut sich da irgendwas? Na ja. Es ist ein bisschen

schräg, es ist alles on, aber nichts geht. Super. Okay, so, hier ist das jetzt nochmal

aufgetragen ganz kurz. Sie erinnern sich, wir hatten dann eben für so einen, sag ich

mal, Umlauf, aufintegriert den Zuwachs der Verschiebung und da darf dann eben nichts

übrig bleiben, damit eben das Verschiebungsfeld wirklich kompatibel ist. Und dann mit Hilfe

des Stokesatzes und so weiter kommt man zu dem Ergebnis, was dann schließlich hier unten

steht, dass eben diese sogenannte Rotation von dem zweistufigen Feld H, der Verschiebungsgradient

sein soll, damit es ein Verschiebungsgradient ist, soll die Rotation dann eben verschwinden.

Und das hatten wir eben in diesen zweistufigen Tensor Alpha reingeschrieben und ich blätter

jetzt hier einfach mal ein bisschen weiter. Und im Endeffekt sind das halt diese neuen

Bedingungen, die da rauskommen, damit eben wirklich dieser zweistufige Tensor H sich

als Gradient eines Verschiebungsfeldes ergibt. Mal gucken, ob ich hier unten dieses Ding

noch hinkriege. Also wir haben insgesamt neun Gleichungen zwischen H und dem Verschiebungsfeld

U, H ist Gradient von U, das sind neun Gleichungen und aus denen wollen wir eben die drei Verschiebungen,

die in U stecken, hochintegrieren. Das heißt, diese neun Gleichungen, da brauchen wir im

Endeffekt sechs Nebenbedingungen, damit wir denn aus neun Gleichungen drei Verschiebungen

rausfiltern können. Die Gleichungen, die sagen, dass eben dieser versetzungsdichten

Tensor Alpha null ist, das sind auch wieder neun, weil aber in der Art wieder definiert

ist, als Rotation von was unterliegt dieser Tensor Alpha, aber selber wieder drei zusätzlichen

Nebenbedingungen, nämlich dass die Divergenzgrad verschwindet. Also neun minus drei sind sechs

Nebenbedingungen, die ich abziehe von neun kinematischen Gleichungen und damit kann ich

dann drei Verschiebungen bestimmen. So, und dann hatten wir gesagt, okay, der etwas schwierigere

Fall ist aber der hier, dass ich eben wissen will, ob ein gegebenes Verzerrungsfeld Epsilon,

ob das eben integrierbar ist in den Verschiebungsfeld. Die ganzen technischen Details haben sie in

der Übung gemacht und als Ergebnis, klickere ich hier gleich mal ein bisschen schneller

durch, überspringe ich das alles, als Ergebnis kommt dann raus, dass diese sechs Gleichungen,

die jetzt hier stehen, die ich eben zuordne, den sechs Einträgen in so einem symmetrischen

Tensor ITER, den Inkompatibilitätstensor, dass die erfüllt sein müssen, um eben ein

gegebenes Feld von Verzerrung integrieren zu können in ein Feld der Verschiebung. Vielleicht

was hier auffällt, ist, dass hier die zweiten Ableitungen auftauchen, das ist eben komplizierter

als vorher, aber im Endeffekt habe ich hier eben diese klassischen Bedingungen, die auch

die San-Venant-Kompatibilitätsbedingungen genannt werden, mit denen es mir dann eben

gelingt, aus den sechs Gleichungen, die ich zwischen den Verzerrungen und den Verschiebungen

habe, eben dann drei, das sind die Bedingungen, dass ich aus diesen sechs Gleichungen, die

ich zwischen den Verzerrungen und den Verschiebungen habe, eben die drei Verschiebungen bestimme,

das heißt, ich muss also insgesamt drei Nebenbedingungen haben, die Kompetibilitätsbedingungen sind

sechs, davon sind aber nicht alle unabhängig voneinander, die unterliegen eben selber wieder