Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Viertel nach geht es los, oder? Genau.

Ja, darf ich Sie herzlich begrüßen hier zur linearen Kontinsmechanik, Kontinsmechanik 1.

Wir sind ja in den letzten Stunden vorgedrungen, sozusagen in den thematischen Bereich der Bilanzgleichungen.

Und haben uns jetzt letztes Mal über die drei mechanischen Bilanzgleichungen unterhalten,

mit denen wir uns hier auseinandersetzen wollen.

Die Masse Linea-Impuls und Drehimpuls.

Und wir haben in Bezug auf diese generische Bilanzaussage, hatten wir gesagt,

wir wollen eine Größe Beta bilanzieren.

Die habe vielleicht Quellen im Gebiet Sigma.

Die habe einen Zufluss Phi und ein Produktionstherm Pi.

Und von all diesen Größen, wenn wir über die Massenbilanz reden, bleibt eigentlich überhaupt nichts über,

außer eben der Massendichte selber.

Das heißt, die zu bilanzierende Größe ist hier die Masse mit der Massendichte roh,

also Kilogramm pro Kubikmeter oder so beispielsweise.

Die gesamte Masse, die in irgendeinem ausgeschnittenen Teilgebiet V enthalten ist,

kriegen Sie einfach dann durch integrieren.

Und die Massenbilanz, die in diesem Zusammenhang einfach die Erhaltung der Masse beschreibt,

Massenkonservierung, global ausgedrückt ist es eben einfach, dass die zeitliche Änderung der gesamten Masse null ist,

aber denn, weil ich die Zeitableitung in das Integral reinziehen kann,

dass sich die Dichte nicht ändert im Laufe der Zeit und dass die insofern also maximal abhängen kann vom Ort,

was Sie sich vorstellen können, wenn Sie so ein heterogenes Material haben,

da kann natürlich von Punkt zu Punkt die Massendichte mal anders sein, aber dann bleibt die in der Zeit konstant.

Also das war relativ einfach.

Der zweite Fall ist die Bilanz des Impulses.

Linearer Impuls hatten wir hier gesagt, da haben wir schon so ein paar Mehrgrößen,

da ist eben die Größe, die wir bilanzieren wollen, ist der Impuls selber, den nennen wir hier kleinen P.

Quellen für den Impuls sind die im Körper verteilten Volumskräfte, kleinen B,

wie zum Beispiel, das Paradebeispiel ist eigentlich das Eigengewicht in Folge von Gravitation daneben.

Der Fluss für diese Größe sind dann die Spannungen, Sigma,

beziehungsweise der Spannungsvektor T, Sigma mal die Oberflächennormale n,

und der Produktionsterm ist wieder null.

Hier steht das nochmal aufgelistet, die Momentendichte ist einfach Massendichte mal Geschwindigkeit,

das erinnern Sie sich noch ans dritte Semester, Impuls ist Massengeschwindigkeit,

und hier haben wir dann eben entsprechend die Dichte davon, Massendichte mal Geschwindigkeit.

Der gesamte Impuls, der dann in so einem Ausschnitt eines Körpers enthalten ist, sei denn hier Groß P,

das ist einfach das Integral über klein P,

und dann ist eben die Impulsbilanz, ist eigentlich nichts anderes als das, was Sie von Newton kennen,

nämlich, wenn wir mal rechts gucken, die globale Form, die Änderung des gesamten Impulses,

das wäre in der Partikeldynamik aus dem dritten Semester einfach M mal a,

Massengeschwindigung, ist gleich, oder entsteht in Folge von Kräften, ist gleich f,

und diese Kräfte in unserem Fall setzen sich zusammen aus zwei Beiträgen,

einmal die im Körper verteilten Kräfte klein b,

und einmal die am Rand unseres Gebildes wirkenden Randspannungen T,

und die beide zusammen machen eben die resultierende Kraft,

und wenn die nicht gerade null ist, die resultierende Kraft,

dann verändert sich der Gesamtimpuls von unserem Körper.

Das ist also f gleich M mal a, oder M mal a ist f, so wie es hier steht.

Und wenn wir dann alle Integrale, die hier stehen, als Integrale über das Volumen umschreiben,

mit Hilfe des Gaussatzes, auf Gauss kommen wir später zu sprechen,