Wir haben uns im letzten Video mit dem n-dimensionalen euklidischen Vektorraum R hoch n beschäftigt und

wollen uns heute einen Spezialfall davon anschauen, wohl den Spezialfall der uns Menschen am intuitivsten

vorkommt, nämlich der R3. Das heißt wir beschränken uns jetzt auf genau drei Dimensionen. Das macht aus

Sicht der Physik gerade besonders viel Sinn, da viele der Berechnungen im dreidimensionalen Raum

stattfinden, solange wir uns nicht in irgendeinem Raumzeit, in einer Raumzeitumgebung bewegen.

Darum macht es Sinn, dass wir uns im Folgenden mit dem Vektorprodukt einer speziellen Abbildung des

R3 beschäftigen. Das heißt heute in diesem Video behandeln wir das Vektorprodukt, auch genannt

äußeres Produkt oder Kreuzprodukt im R3. Und das ist eine besonders wichtige Abbildung zum einen aus

Sicht der Geometrie. Wie wir sehen werden, ist es uns möglich, orthogonale Vektoren zu konstruieren

mit Hilfe dieses Vektorprodukts. Zum anderen spielt diese Abbildung gerade in der Physik eine

wichtige Rolle, zum Beispiel bei der Berechnung der Lorenzkraft im Elektromagnetismus oder bei

der Berechnung des Drehmoments in der klassischen Mechanik. Gerade in solchen Anwendungen taucht

das Kreuzprodukt immer wieder auf oder das Vektorprodukt, sodass wir uns heute damit

beschäftigen möchten. Fangen wir doch direkt an mit der Definition des Vektorprodukts.

Also Vektorprodukt in R3. Das heißt wir geben uns jetzt zwei Vektoren vor, x und y aus dem R3,

und geben diese auch konkret an im Sinne der Indizierung. Und dann werden wir sehen,

wie sich das Kreuzprodukt definieren lässt. Sein x und y, zwei Vektoren aus dem R3, mit

x definiert als der Vektor x1, x2, x3 transponiert. Dementsprechend der Vektor y,

schreibe darunter y1, y2, y3 transponiert. Also Spaltenvektoren. Dann wird das Vektorprodukt

Vektorprodukt von x und y, auch häufig Kreuzprodukt oder äußeres Produkt genannt,

als folgende Abbildung definiert. Das heißt ich schreibe das häufig mit einem gekippten

Pluszeichen, mit einem Kreuz dazwischen. Das sieht dann wie folgt aus. Wir haben eine Abbildung,

die schreibe ich jetzt hier mal mit Klammer, damit klar ist, dass hier zwei Argumente folgen. Ganz

wichtig ist das Kreuz in der Mitte für das Kreuzprodukt. Das ist eine Abbildung von zwei

Vektoren des R3 nach R3. Das heißt wir bilden wieder ab auf einen Vektor, im Gegensatz zum

Skalarprodukt, wo wir auf den Körper abgebildet haben. Wie sieht das Ganze konkret aus? Im

Endeffekt, das schreiben wir vielleicht, bilden wir ab zwei Vektoren x und y als Paar auf die

Abbildung x, x Kreuz y. Und wie ist das ganze definiert? Naja, mir fällt es immer schwer,

mir zu merken, wie genau die Indizierung funktioniert, die wir gleich sehen werden.

Deswegen möchte ich Ihnen eine kleine Eselsbrücke zeigen. Man kann hier schon mal hinschreiben,

dass hier ein dreidimensionaler Vektor entsteht und wie der aussieht, das wollen wir uns dann

runter mal herleiten. Was ich dafür häufig mache, ist ich schreibe mir die beiden Vektoren x und y

als Spalten Vektoren untereinander. Das hilft so ein bisschen. Das heißt x1, x2, x3, auf der

linken Seite y1, y2, y3. Und ähnlich wie bei der Gartenzaunregel oder der Determinantenregel

nach Saru, wiederhole ich jetzt noch mal diesen Vektor untereinander und dann sehen wir, dass es

sich ganz einfach herleiten lässt, wie dieses Kreuzprodukt aussehen muss. Das sind die beiden

Vektoren. Man startet jetzt, das ist das einzige, was man sich merken muss, mit dem Vektor, mit

dem Eintrag x2, multipliziert den mit y3. Das ist das erste, was wir aufschreiben wollen. Das heißt,

wir haben hier oben ein Produkt von x2 mal y3. Was wir jetzt machen, ist wir ziehen im Prinzip das

Produkt ab, wenn wir hier ein Kreuz bilden, daher auch das Kreuzprodukt. Das heißt, hier male ich

jetzt einen kreuzenden Vektor hinein und muss jetzt das Produkt bilden aus x3 und y2 und bilde die

Differenz. Das heißt, hier haben wir jetzt x3, y2. Und nun geht man eine Zeile tiefer und macht dort

genau dasselbe Kreuz. Das heißt, wir starten mit x3. Jetzt dadurch, dass wir zwei Vektoren untereinander

haben, können wir das auch machen. Ansonsten hätte man ein wildes Durcheinander von Vektoren

erhalten. Das ist hier der Trick. Und bilden so das Kreuz. Das heißt, wir haben jetzt x3 mal y1.

x3 mal y1 minus x1 mal y3. Und jetzt noch zuletzt gehen wir von x1 zu y2 und x2 zu y1. Dann sind wir

fertig. Das heißt, wir haben noch x1, y2 minus x2 mal y1. Das kann man sich jetzt so merken mit

dieser kreuzenden Gartenzaunregel. Sie können sich aber auch einfach die Definitionen versuchen,

einzuprägen. Ein guter Tipp ist es, wenn Sie das Kreuzprodukt aufschreiben, dann sollte jeder Index,

wenn Sie das Spaltenweise lesen, nur ein einziges Mal vorkommen pro Spalte. Das heißt, wenn ich mir