Wir wollen uns in diesem Video mit einer interessanten Eigenschaft beschäftigen für

Bilinearformen und Sesquilinearformen, die sich Polarisierung nennt und die nichts anderes aussagt,

als dass sich die symmetrischen Bilinearformen für zwei Vektoren ausrechnen lassen nur anhand

ihrer quadratischen Formen und analog beliebige Sesquilinearformen, die ausgewertet werden an

zwei Vektoren V und W ebenfalls nur durch ihre quadratischen Formen ausgedrückt werden können.

Das heißt, man kann sozusagen diese Spezialfälle von Bilinearform und Sesquilinearform rekonstruieren,

nur aus ihrem quadratischen Verhalten. Gut, damit wollen wir direkt beginnen. Es gibt folgenden

Satz, den Sie in der Hausaufgabe zeigen sollen. Diesen Satz nennen wir Polarisierung.

Und wir müssen jetzt zwei verschiedene Vektorräume betrachten, da wir einmal für symmetrische

Bilinearform eine Aussage treffen und einmal für komplexfertige Sesquilinearform. Das heißt,

zuerst sei V ein R-Vektorraum und W dementsprechend ein C-Vektorraum. Außerdem betrachten wir eine

symmetrische Bilinearform, die nennen wir hier mal in diesem Beispiel B, damit wir nicht zur

Verwechslung kommen. Sei B eine symmetrische Bilinearform auf dem Vektorraum V. Und wir haben

folgende quadratische Form, die nennen wir hier Q mit quadratischer Form Q von V definiert als B,

V und V. Dasselbe schauen wir uns jetzt noch für diese Sesquilinearform an. Also sei und

wenn wir uns besser auseinanderhalten kann, nenne ich die S wie Sesquilinearform, B wie Bilinearform.

Sei S eine, oh, das sollten wir vielleicht in blau schreiben, damit es konsistent ist. Sei, es

eine Sesquilinearform und dies beliebig, das heißt, die muss nicht Hermitage sein. Auf W mit

quadratischer Form, die wollen wir, damit es nicht zur Verwechslung kommt, P nennen. P von V oder von W

definieren wir als S von W. Und jetzt, all diese Voraussetzungen gegeben, können wir endlich die

Polarisierung genannten Zusammenhänge formulieren. Das sind im Prinzip zwei Aussagen. Die erste

Aussage bezieht sich auf die symmetrische Bilinearform. Wichtig, das gilt nur für

symmetrische Bilinearform, nicht für beliebige. Das heißt, wir können die Bilinearform ausgewertet

an zwei beliebigen Vektoren V und W ausdrücken durch folgende Form, die nur aus quadratischen

Formen besteht, nämlich ein Viertel mal der quadratischen Form ausgewertet an V plus W minus

der quadratischen Form ausgewertet an V minus W. Also wir können sozusagen die Bilinearform an zwei

Vektoren rekonstruieren, indem wir uns diese beiden speziellen quadratischen Terme anschauen. Und das

gilt natürlich für alle V und W in V. Und jetzt noch die zweite Eigenschaft für die sesquilinearform.

Da haben wir was ähnliches. Wir können S auswerten an V und W durch folgende Gestalt. Hier taucht der

ähnliche Term ein Viertel auf. Das werden Sie in der Hausabgabe sehen, wo der herkommt. Und wir haben

es die quadratische Form P gegeben. Der erste Teil ist noch Äquivalenz zur Bilinearform. Das heißt P V

plus W minus P und V minus W. Und jetzt kommen noch zusätzliche Terme, die nur bei der sesquilinearform

auftauchen. Das heißt, hier haben wir noch plus I der imaginären Zahl mal P ausgewertet an V plus

I W. Und wir ziehen noch mal ein Term ab, nämlich minus I mal P ausgewertet an V minus I W. Ebenso

auch für alle V und W in W. Genau, diese Eigenschaften nennt man Polarisierung. Für den Beweis müssen

Sie eigentlich nur die Definition einsetzen der quadratischen Form und nachrechnen, dass diese

Eigenschaften stimmen. Und es ist eigentlich relativ interessant, was uns diese Aussage sagt. Wenn wir

jetzt mal an die darstellende Matrix zum Beispiel einer symmetrischen Bilinearform denken, sagen wir

mal wir haben eine Basis B und wir betrachten die darstellende Matrix M B von S. Und hier sei S mal

eine symmetrische Bilinearform. Dann weiß ich, die hat auf der Hauptdiagonalen so etwas wie S von V

1 V 1 bis zu S von V n V n. Und jetzt sagt mir eigentlich diese Polarisierung, dass wenn ich für

einen beliebigen Eintrag dieser Matrix wissen möchte, was dort steht, und das sei mal der Eintrag

S von V i V j, dann muss ich nichts anderes tun, als auf der Diagonale die entsprechenden Einträge

miteinander kombinieren. Das heißt, es gibt hier irgendwo auf der Diagonalen einen Eintrag, der ist

gerade Q oder S könnte ich jetzt auch schreiben, aber Q ist kürzer, von V i minus V j. Und hier unten

gibt es einen anderen Eintrag, der ist gerade Q von V i plus V j. Und ich kann sozusagen diesen

unbekannten Eintrag in der Matrix rekonstruieren aus diesen beiden Diagonalelementen. Das heißt,

die gesamte Matrix ist bestimmt nur durch die Diagonalelemente dieser quadratischen Formen.

Das ist schon sehr interessant. Gut, noch mal zur Erinnerung, diese Polarisierung gilt nur für

symmetrische Bilinearformen. Was kann schiefgehen für nicht symmetrische Bilinearformen? Dafür