Im letzten Video haben wir damit begonnen, normierte Vektorräume einzuführen und die

topologisch wichtigen Begriffe von offenen und abgeschlossenen Mengen zu charakterisieren.

Aufbauend auf diesen Begriffen wollen wir uns im Folgenden noch einmal mit der Konvergenz von

Folgen beschäftigen und die allgemeinen Konvergenzbegriffe nun von metrischen Räumen

auf normierte Räume translatieren. Die Idee ist es dabei, dass man in allen Definitionen,

die Sie bereits aus dem letzten Semester kennen, den Abstandsbegriff bezüglich der

Metrik ersetzt nun durch die Norm der Differenz von Punkten. Und wir werden sehen, dass wir damit

konvergente Folgen und Cauchy-Folgen sinnvoll definieren können in diesen normierten Räumen.

Und die Definitionen sehr analog sind, sie also die Möglichkeit haben, nochmal ihr Wissen aufzufrischen

und die wichtigsten Begriffe zu wiederholen. Es ist dann so, dass die Konvergenz, dadurch,

dass wir sie durch eine Norm ausdrücken, hier im Prinzip sich dadurch ausdrückt, dass der Abstand

der Punkte gemessen in dieser Norm eine Nullfolge bildet. Das wird die zentrale Idee sein. Oder

anders ausgedruckt können wir auch sagen, dass eine Folge konvergent ist, genau dann, wenn alle

Folgeglieder dieser Folge ab einem bestimmten Index in einer Epsilon-Umgebung, die wir im letzten

Video eingeführt haben, gemessen in der Norm um den Grenzwert herumliegen. Das heißt, wir wollen

jetzt beginnen einfach mit der Definition von konvergenten Folgen und von Cauchy-Folgen in

diesen normierten Vektorräumen. Das heißt, wir machen konvergente Folgen und Cauchy-Folgen.

Und Sie erinnern sich aus dem letzten Semester, dass insbesondere jede konvergente Folge eine

Cauchy-Folge ist, aber die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht nur in Spezialfällen, zum Beispiel

in R oder in allen anderen archimetisch angeordneten Körpern. Und wir wollen definieren,

in dem Fall, wir sind nicht mehr in metrischen Räumen, sondern normierten. Das heißt, wir sagen,

x sei ein normierter Vektorraum. Und ich benutze hier wieder die Kurzschreibweise, also nicht das Paar

zusammen mit der Norm. Und wir betrachten eine Folge xn, ein Element n in x, das heißt, die

liegt in diesem Raum x. Dann können wir folgende Definition vornehmen. Zuerst die Folge xn heißt

konvergent mit einem Grenzwert, den wollen wir x-quern nennen. Falls eine Bedingung erfüllt ist,

die Sie schon kennen, nun ausgedrückt mit der Norm. Das heißt, die Folge xn, n aus den natürlichen

Zahlen, heißt konvergent mit einem Grenzwert x-quern, den in diesem Raum liegen muss, das ist

besonders wichtig. x-quern in groß x. Falls folgende Bedingung gilt und die Bedingung in

mathematischer Schreibweise mit den Quantoren lautet wie folgt, und zwar für alle Epsilon,

die wir uns vorgeben, das ist sozusagen der Abstand, den wir gerne zum Grenzwert hätten,

wissen wir, es muss ein Folgenglied geben, das bezeichnen wir als l0, dieses spezielle

Folgenglied. Ab dieser Folgenglied liegen alle weiteren Folgenglieder in einem Epsilon-Schlauch.

Das heißt, für alle Epsilon größer 0 existiert ein n0 aus den Indizes, sodass für alle Indizes n,

die größer gleich n0 sind, also alle die danach kommen, muss gelten, und das ist jetzt hier im

Prinzip das Neue, dass wir das nicht in einer Metrik ausdrücken, sondern in der Norm. Es muss

nämlich gelten, dass dann alle Folgenglieder xn in der Norm gemessen zum Grenzwert x-quern echt

kleiner als Epsilon sind. Gut, das heißt, im Endeffekt nichts anderes, wie dass ab einem

gewissen Index der Abstand aller Folgenglieder zum Grenzwert kleiner Epsilon ist. Jetzt wollen wir

noch mal definieren, was eine Cauchy-Folge ist. Also die Folge xn, n aus den natürlichen Zahlen,

heißt Cauchy-Folge mit Grenzwert auch wieder x-quern. x-quern aus x, falls folgende Bedingung erfüllt ist.

Wir schreiben das auch wieder mit den Existenz- und all-Quantoren. Das heißt, wir fordern auch

wieder, wir können uns eine Grenze vorgeben, die nennen wir Epsilon, in der messen wir den

Abstand. Für all diese Grenzen muss es ein Index n0 geben aus den natürlichen Zahlen,

sodass, und das ist jetzt der große Unterschied hier zur normalen Konvergentenfolge, deswegen

möchte ich das hier vielleicht noch mal hervorheben, dass für alle Indizes m und n größer gleich

n0. Folgendes gilt, und zwar ist jetzt der Abstand nicht zum Grenzwert kleiner Epsilon,

sondern der Abstand dieser Folgenglieder untereinander soll kleiner Epsilon sein. Das heißt,

der Abstand von xn zu xm soll kleiner Epsilon sein und das heißt, dass ab einem gewissen Index die

Folgeglieder beliebig nahe aneinander liegen, im Gegensatz zur Definition der Konvergentenfolge,

bei der es nur darum geht, dass der Abstand zum Grenzwert beliebig klein werden muss. Genau,