Nachdem wir in den letzten beiden Videos die Integrationstechniken mittels

partieller Integration und die Integrationstechnik durch Substitution

kennengelernt haben, wollen wir uns im Folgenden mit der Partialbruchzerlegung

beschäftigen, als letzte Integrationstechnik, die ich Ihnen beibringen möchte.

Und lassen Sie mich einleiten, sagen, dass im Gegensatz zur Differenziation hat man

leider bei der Integration keine Aussage darüber, dass das Integral einer

elementaren Funktion wieder eine elementare Funktion ergibt. Das ist eins

der Hauptprobleme, warum Integrale schwer auszurechnen sind. Und insbesondere gibt

es dann auch keinen allgemeingültigen Algorithmus zur Bestimmung solcher

Integrale. Und das macht besonders die analytische Integration sehr schwierig.

Nummerisch haben wir da eigene Werkzeuge, mit denen wir Integral

approximieren können. Da haben wir weniger Schwierigkeiten. Aber das

Hinschreiben eines analytischen Integrals, einer Stammfunktion, stellt sich als sehr

schwierig heraus. Jetzt gibt es jedoch in der Analysis einen Spezialfall, nämlich

den der rationalen Funktion. Das ist im Prinzip der Quotient zweier

Polynome. Und für diese rationalen Funktionen können wir solch eine

Rechenvorschrift erarbeiten. Und das wollen wir auch im folgenden tun.

Ich wollte einmal kurz motivieren, wie so eine rationale Funktion aussieht. Das

heißt, wir werden uns bald beschäftigen mit Funktionen der folgenden Art.

Das ist eine Funktion in einer Variablen x. Die können wir schreiben als solch ein

Quotienten p von x, q von x. Und wichtig ist hierbei natürlich, dass q ungleich 0

sein muss. Ansonsten würden wir hier durch 0 teilen.

Und ein mögliches Beispiel, wenn sie jetzt an solch ein Quotienten denken,

wäre zum Beispiel ein Polynom x hoch 4 geteilt durch ein anderes Polynom x

hoch 3 plus 2x minus 1. Um solche Ausdrücke wollen wir uns kümmern und wir

werden sehen, dass wir dafür einen Algorithmus angeben können, der es uns

erlaubt, effizient analytische Integrale auszurechnen.

Das heißt, das hier sind die sogenannten rationalen Funktionen.

Und wir werden im späteren auch noch ein bisschen über deren Eigenschaften

philosophieren und erklären, was an denen so besonders ist. Sie sehen schon,

rationale Funktionen basieren auf Polynomen. Und damit sie auch einen guten

Einstieg in dieses Thema bekommen, habe ich mich entschieden, nochmal die

wichtigsten Grundbegriffe und die wichtigsten Beobachtungen von Polynomen zu

wiederholen. Und das heißt, in diesem Video geht es nur um Wiederholung. Wir werden

uns nochmal anschauen, was sind Polynomfunktionen und was gelten für

solche Polynomfunktionen. Hierfür fangen wir mit folgender Definition an.

Also was verstehen wir unter einer Polynomfunktion?

Wir betrachten entweder den Körper der reellen Zahlen oder der komplexen Zahlen

für diese Polynome. Die werden im Prinzip uns die Koeffizienten für das

Polynom liefern. Das heißt, für den Körper k gleich r oder k gleich c

nennen wir jede Funktion der folgenden Form ein Polynom. Jede Funktion, naja,

schreiben sie mal als p von dem Körper in den Körper.

Der folgenden Form ein Polynom. Und wie ist diese Form? Naja, wir können schreiben

p von x, das Polynom, ist gegeben als eine endliche Summe. Und wir fangen im

Index 0 an, k gleich 0 bis n. Das heißt, wir haben n plus 1 Summanden über

Koeffizienten ak mal dieser Monome x hoch k. Und das Ganze können wir auch noch mal einmal ausschreiben,

damit es deutlich wird. Also wir haben hier eine konstante a0 plus a1 mal x plus a2 mal x

Quadrat und so weiter bis zum höchsten Term, der dann lautet an mal x hoch n.

Und besonders wichtig ist, dass diese Koeffizienten ak aus dem Körper sind.

Also mit ak aus dem Körper selber für k gleich 0 bis n. Solche Funktion nennen