Nachdem wir im letzten Video die wichtigsten Eigenschaften von Polynomfunktionen wiederholt

haben, wollen wir basierend auf diesen Polynomen nun einen Quotienten betrachten. Und diesen

Quotienten nennen wir auch rationale Funktion. Das heißt, wir werden uns in diesem sehr kurzen

Video noch einmal anschauen, was sind rationale Funktionen. Denn diese werden wir brauchen,

um zu verstehen, wie wir Integration für rationale Funktionen vornehmen können. Das heißt,

wir beginnen zuerst einmal mit der Definition der rationalen Funktion.

Rationale Funktion. Und wie ich schon angekündigt habe, handelt es sich hierbei um ein Quotient aus

zwei Polynomen. Da muss man ein bisschen aufpassen und auch versuchen zu erklären,

welche Arten von rationalen Funktionen wir denn kennen. Wir sagen zuerst einmal,

wir haben zwei Polynome aus dem Ring der Polynome über einem Körper k. Also sein P und Q nenne ich

die beiden aus dem Ring der Polynome mit Koeffizienten aus k in der Variablen x.

Zwei Polynome. Und wir geben hier mal explizit den Grad der Polynome an,

denn da werden wir eine Fallunterscheidung brauchen. Das heißt, wir sagen,

der Grad des Polynoms P, der soll gerade gleich n sein. Und der Grad des Polynoms Q,

der soll gerade gleich m sein für natürliche Zahlen. M,n aus n. Und wir werden gleich

unterscheiden. Je nachdem, welcher der beiden Zahlen größer ist, nennen wir die ganz rationale

Funktion anders. Jetzt können wir definieren, was wir unter einer rationalen Funktion verstehen.

Denn dann bezeichnen wir den Quotienten dieser beiden Polynome als eine rationale Funktion.

Und diese rationale Funktion, die möchte ich im Folgenden immer abkürzen mit R, also eine Funktion

in x, die da definiert ist als das Polynom in x, geteilt durch Polynomen in Q von x. Und wir

können das Ganze noch einmal ausführlich aufschreiben an der Stelle, damit klar ist,

dass es sich um Polynome handelt. Wir summieren von k gleich 0 bis n, war der Grad, über die

ak x hoch k. Und wir teilen das Ganze durch eine Summe, die nur bis m läuft, k gleich 0, über

eine Polynom der Form bk xk. Und ist klar, dass die Koeffizienten ak bk hier nicht gleich sein

müssen. Das kann sich hier um unterschiedliche Polynome handeln. Und das bezeichnen wir als

eine rationale Funktion. Wir werden gleich sehen, wir müssen ein bisschen aufpassen.

Dadurch, dass wir hier durch ein Polynom teilen, müssen wir darauf achten, dass der Definitionsbereich

eingeschränkt ist in der Form, dass Q von x niemals 0 wird. Denn dann würden wir durch 0 teilen.

Das sind sozusagen die Polstellen der rationalen Funktion. Hierbei, ich schreibe mal so, gilt,

dass R abbildet von einem Definitionsbereich D, Teilmenge des Körpers in den Körper, mit D so

gewählt, dass Q von x niemals 0 ist. Ungleich 0 für alle x Element D. Einfach um auszuschließen,

dass man hier durch 0 teilt. Und jetzt können wir noch verschiedene Begriffe einführen für

rationale Funktionen. Denn je nachdem, wie der Grad der beiden Polynome in diesem Quotienten

zueinander steht, sprechen wir einmal von einer echt gebrochen rationalen Funktion,

einer unecht gebrochen rationalen Funktion oder einer ganz rationalen Funktion. Das wollen wir

auch kurz diskutieren. Also, drei Fälle. Ich kürze das hier ab und schreibe einfach nur,

falls n kleiner m ist. Das bedeutet insbesondere, dass der Grad des Polynoms im Nenner größer

als der im Zähler ist. Ich schreibe vielleicht noch mal ein kleines Beispiel daneben, damit man

das direkt versteht. Also, falls wir so etwas hier betrachten, x² minus 1 geteilt durch x hoch 3 plus

2x². Das wäre sozusagen der Fall, den wir betrachten. In dem Fall sprechen wir von einer

echt gebrochen rationalen Funktion. Echt gebrochen rationalen Funktion. Der gegenteilige Fall wäre

dementsprechend, wenn m größer gleich n ist. M größer gleich n. Da stellen wir uns so etwas vor

wie x hoch 3 minus x plus 1 geteilt durch 2x hoch 3 plus 2x. Das wäre sozusagen der Fall,

bei dem der Grad der Polynome übereinstimmt. Ich könnte aber auch im Zähler, wenn ich Lust habe,

einfach noch ein größeres Polynom schreiben, das einen großen Grad hat, also x hoch 5. Und dann

bleibe ich in diesem Fall. Also, m ist in dem Falle Größe. Moment, ich habe es genau falsch

schon aufgeschrieben. Es müsste ja sein n. Ich habe hier nichts gewonnen in diesem Beispiel.

N größer gleich m. Entschuldigen Sie. Genau, in dem Fall sprechen wir von einer unecht gebrochen

rationalen Funktion. Und wir werden auch gleich sehen, warum das so ist. Gebrochen rationalen

Funktion. Und es gibt noch einen Spezialfall, nämlich der, dass wir gar nicht durch ein Polynom