Wir haben im letzten Video gesehen, wie wir beliebige rationale Funktionen durch die Partialbruchzerlegung

in Summen von viel einfacheren Termen zerlegen können. Und das Ziel dahinter war es, dass wir

Terme bekommen, deren Stammfunktionen wir einfach herleiten können. Und das ist jetzt der letzte

Teil, der uns fehlt und den dieses Video abschließend behandeln soll, nämlich wie wir

Stammfunktionen von einfachen rationalen Funktionen finden können, die in der Art sind,

wie wir sie beim letzten Mal durch die Partialbruchzerlegung bekommen haben.

Wir erinnern uns für einen Allgemeinkörper K und wir können in dem Fall immer an die

reellen Zahlen denken, war die Partialbruchzerlegung im Endeffekt am Ende eine Summe aus Termen,

deren Nennerpolynom ein Linearfaktor hoch einem Exponenten J ist. Das ist im Prinzip dieser

Anteil hier auf der linken Seite. Für diese bekommen wir vermutlich wenig Probleme, da können

wir uns schon überlegen, sind Stammfunktionen vermutlich einfach. Und auf der rechten Seite,

da haben wir gesehen, kommen noch Summanden, die im Nennerpolynom quadratische Polynome bekommen,

hoch einen Exponenten J. Und das waren gerade eben jene Nullstellen, die echt komplex sind,

zusammen mit ihrem komplex konjugierten Partner. Und falls wir uns über den komplexen Zahlen

bewegen, das heißt unser Körper C ist und nicht die reellen Zahlen, würden diese quadratischen

Polynomen natürlich noch weiter zerfallen und wir könnten dort auch Terme wie auf der linken

Seite erhalten. Das heißt, wir haben im Endeffekt diese beiden unterschiedlichen Summanden und wir

müssen uns in diesem Video genau überlegen, wie sehen die Stammfunktionen von solchen Funktionen

aus. Dazu wollen wir zuerst folgendes bemerken. Also machen wir eine Bemerkung. Als Resultat der

Partialbruchzerlegung erwarten wir im schlimmsten Fall, also wenn wir über den reellen Zahlen sind,

zwei verschiedene Arten von Summanden. Und wir werden uns folgende Stammfunktionen dazu anschauen,

so dass wir am Ende für beliebig rationale Funktionen ein Integral ausrechnen können.

Wir werden das Ganze nicht explizit herleiten, denn wenn die Stammfunktionen erst einmal dastehen,

kann man durch Differenziation prüfen, dass diese korrekt sind. Deswegen verzichten wir auf den

komplizierten Weg der Herleitung. Und wir beginnen direkt mit den einfachen Summanden. Das ist hier

oben dieser rot eingekastete Teil. Das sind die Summanden, die im Prinzip nur ein Linearfaktor

beim Nenner haben. Das heißt, zuerst schauen wir uns Folgendes an. Die erste Art von Summanden der

Partialbruchzerlegung, ich kürze wieder ab mit pwz, ist von der Gestalt, jetzt mache ich es ein

bisschen einfacher, wir betrachten nur einen einzigen Summanden, denn was wir für den herleiten,

das gilt natürlich für alle anderen auch. Wir sagen, wir haben dann einen Summanden, den ich mal

s von x, das ist selber wieder eine rationale Funktion, die ist aber besonders einfach. Und

zwar ist die ein Koeffizient a geteilt durch x minus kleiner und kleiner aber die Nullstelle hoch j.

Wir wissen noch, j war eine natürliche Zahl und a ein Element aus dem Körper. Und das waren im

Prinzip die Summanden, die dadurch entstanden sind, dass wir Linearfaktoren aus dem Nenner

Polynom q ausgeplammert haben, wenn wir uns das hier oben noch mal anschauen. Und die kamen dann

eben ganz automatisch in der Partialbruchzerlegung heraus. Und das schöne ist, da das Skalar ja nicht

von der Variable x abhängt, können wir das aus dem Integral rausziehen und das heißt,

das stört uns nicht bei der Bestimmung der Stammfunktion und wir können die Stammfunktion

daher direkt angeben. Das heißt, da wir a linear aus dem Integral ziehen können,

da es nicht von x abhängt, herausziehen, erhalten wir folgende Darstellung für die Stammfunktion.

Das hängt jetzt davon ab, welche Potenz j wir betrachten. Wie sieht die ganze

aus? Naja, wenn wir jetzt ein Integral darüber bilden, über die Funktion s von x und die

Stammfunktion suchen, das heißt s von x dx, dann können wir erstmal einsetzen, was wir da sehen.

Und wie gesagt, das a können wir linear rausziehen. Das wäre also a mal der Stammfunktion von 1 minus

x minus a ist die Nullstelle hoch j dx. Da gibt es jetzt eine Fallunterscheidung, das hängt also

davon ab, welcher Exponent j dort steht. Wir machen den einfachsten Fall, j gleich 1, dann steht da

so etwas wie 1 durch x minus a. Naja, bei solchen Funktionen wissen wir die Stammfunktion natürlich,

das wird der Logarhythmus sein von x minus a. Und wir müssen ein bisschen aufpassen, das Ganze darf

nicht negativ werden. Da wir x nicht eingeschränkt haben, müssen wir hier den Betrag nehmen, das heißt,

die Stammfunktion ist der natürliche Logarhythmus vom Betrag von x minus a. Das ist der erste Fall.