Wir haben uns in den letzten Videos mit dem Begriff der partiellen Ableitung von Funktionen

im RhoN nach R beschäftigt und haben gesehen, dass dieser Begriff der partiellen Ableitung

eigentlich die nächstliegendste Strategie ist, Ableitung für Funktionen mehrerer Veränderlichen

zu definieren. Allerdings haben wir uns aber auch Beispiele angesehen, die klarmachen, dass diese

Definition, die basiert auf der Einschränkung auf einzelnen Koordinatenachsen, einerseits ziemlich

willkürlich ist, aber insbesondere auch keine befriedigende Verallgemeinerung des Ableitungsbegriffs

darstellt. So konnten wir Beispiele konstruieren, die uns gezeigt haben, dass wir zwar partiell

ableitbar in einer Richtung waren, jedoch leider nicht stetig in einem Punkt. Und das hat uns dazu

geführt, zu sagen, dass wir nach einem stärkeren Begriff der Ableitung suchen sollten. Auch gilt

nicht die Aussage aus dem Eindimensionalen, wo wir wissen, wenn eine Funktion differenzierbar ist,

dann ist sie stetig. Da konnten wir Gegenbeispiele finden und darum suchen wir nach einem Begriff,

der eine echte Verallgemeinerung dieser Beobachtung darstellt. Und das ist eben die totale

Differenzierbarkeit, mit der wir uns in diesem Video beschäftigen wollen. Wir werden auch

gleichzeitig den Begriff der Ableitung weiter verallgemeinern, im Sinne von, wir betrachten

nicht mehr Funktionen, die reellwertig sind, sondern sogar vektorwertig. Das heißt, ab jetzt

betrachten wir folgende Situation. Und das wird uns mehr Flexibilität zulassen für den Begriff

der Ableitung. Wir werden jetzt Funktionen betrachten mit erstmal einer offenen Teilmenge

u des R hoch n. Und f sei im Folgenden jetzt eine Funktion, die von u in den R hoch m abbildet. Das heißt,

wir sind jetzt plötzlich vektorwertig. Und da stellt man sich natürlich die Frage, wie sieht

denn dort eine Ableitung aus? Und das werden wir im Zuge der totalen Differenzierbarkeit

für nünftig definieren. Gut, ich habe schon gesagt, der zentrale Begriff dieses Videos ist

die totale Differenzierbarkeit. Darum fangen wir auch an mit einer Definition dieses Begriffs.

Also Definition der totalen Differenzierbarkeit einer Funktion. Wie wir später sehen werden,

ist dieser Begriff wirklich stärker, denn er impliziert auch partielle Differenzierbarkeit.

Die Umkehrung gilt nicht. Und wir formulieren erstmal die Definition. Wir brauchen wieder eine

offene Teilmenge, also u Teilmenge R hoch n. Eine offene Teilmenge. Und wir brauchen eine Funktion,

die in den R hoch m abbildet. Dann heißt eine Funktion, die wir da umgeschrieben haben,

die von u in den R hoch m abbildet, die nennen wir total differenzierbar. In einem Punkt x.

x aus dieser Umgebung u. Falls ich einen beliebigen Vektor xi aus dem R hoch n nehmen kann,

so dass ich einen Differenzenquotienten bekomme, der linear approximiert. Wie wollen wir das

aufschreiben? Also falls für einen beliebigen Vektor, den wir xinen aus dem R hoch n eine

Linear Abbildung existiert. Das ist jetzt wichtig, denn das erklärt im Prinzip, was wir unter

totaler Differenzierbarkeit verstehen. Und diese Linear Abbildung, die bildet ab von Vektoren des

R hoch n in die Vektorraum R hoch m. Das können wir uns natürlich auch als Matrix vorstellen. Wir

wissen, es gibt immer Darstellende Matrizen für solche linearen Abbildungen. Also wenn so eine

Linear Abbildung existiert, so dass folgender Grenzwert ein R, die Null ist. Und zwar betrachten

wir jetzt den Limes für diesen beliebigen Vektor xi, der soll gegen Null streben. Wir betrachten

einen Differenzenquotienten, der ein bisschen anders ist, als man es sonst erwarten würde. Wir

schauen uns an im Punkt x, den Differenzenquotienten f von x plus xi minus f von x. So an der Stelle

würde man jetzt normalerweise teilen. Wenn Sie an eindimensionale Differenzenquotienten denken,

da teilt man dann einfach durch die Schrittweite h, die gegen Null strebt. Aber hier mehrdimensional

brauchen wir noch eine zusätzliche Bedingung, nämlich wir wollen ja nicht den Grenzwert

ausrechnen, sondern wir möchten zeigen, dass es eine lineare Approximation gibt im Grenzwert,

nämlich ausgedrückt durch L. Das heißt, wenn wir L anwenden auf xi und davon die Norm nehmen,

dann soll das ganze Null sein. Das Ganze kann jetzt ein bisschen, wirkt jetzt vielleicht ein

bisschen abstrakt und arbiträr, darum wollen wir mit der folgenden Erklärung beschreiben,

was wir dort eigentlich tun. Also das ist die Definition der totalen Differenzierbarkeit,

wir brauchen eine lineare Abbildung, sodass dieser Grenzwert Null ist und dazu halten wir

folgende Bemerkung fest. Die wollen wir in zwei Teile unterteilen. Zuerst betrachten wir

mal nur den Zähler und das, was dort steht innerhalb der Norm, das nennen wir das sogenannte