Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen.

In der letzten Vorlesung haben wir ja über reelle Funktionen gesprochen, über Polynome,

über die Berechnung von Polynomen mit dem Horner Schema.

Mit dem Horner Schema kann man Polynome an einer Stelle auswerten und gleichzeitig dann noch eine

spezielle Darstellung erhalten, wo man das Polynom darstellt als den Wert an der Stelle plus ein

Linearfaktor x minus die Stelle mal ein Restpolynom. In dem Sinne kann man also mit dem Horner Schema

auch eine Art Polynom-Division durchführen. In dieser Vorlesung geht es um ein neues Thema,

das ist Ihnen aber auch nicht ganz unbekannt, nämlich Folgen und Grenzwerte. Also wir bewegen

uns jetzt Richtung Analysis und nähern uns dem Konvergenzbegriff.

Folgen und Konvergenz. Was ist eine Folge? Das ist so was wie eine Abfolge. Also es gibt ein Objekt

und dann ein Nachfolgeobjekt und dann wieder ein Nachfolgeobjekt, also genau wie bei den

natürlichen Zahlen und das kann man formal so sagen. Folgen reeller Zahlen sind eine Abbildung

von den natürlichen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen. Definition aus einer Abbildung,

nennen wir sie Phi, von den natürlichen Zahlen n in die Menge der reellen Zahlen r entsteht eine

Folge. Bei einer Folge hat man ja sogenannte Folgenglieder, das sind diese reellen Zahlen,

an, wobei das n unten an das a dran gehängt wird und diese an sind einfach die Bilder Phi von n.

Und n ist dabei eine natürliche Zahl und die natürlichen Zahlen sind ja so schön angeordnet,

deshalb kann man sich so eine Folge auch als eine Liste vorstellen, also so etwas wie ein

unendlich langer Vektor. Bei einem Vektor haben sie ja nur 10 Zahlen, zum Beispiel im r hoch 10

oder 1000 im r hoch 1000 und bei einer Folge kommt eben immer noch eine weitere Zahl dazu. Zu jedem

Index n haben sie eine Zahl an, das Folgenglied, das nte Folgenglied ist das. Das ist eine Folge

reeller Zahlen. Dafür gibt es jetzt verschiedene Schreibweisen. Also dieses a n

kann man in runde Klammern schreiben und unten schreibt man dann n aus n. Da steht also unten

an der Klammer, welche Menge dieser Index n durchläuft. Das ist eine moderne Schreibweise,

früher hat man das mit geschweiften Klammern geschrieben, sowie bei einer Menge. Hier gibt es

natürlich auch reelle Zahlen, die angenommen werden, also eine Bildmenge, aber bei der Folge

ist halt die Reihenfolge auch festgelegt. Das n läuft von 1 bis unendlich, diese a ns sind also

angeordnet. Die Zahlen a n heißen Glieder der Folge.

Und so etwas haben sie ja schon einmal in der Schule auch gesehen. Das einfachste Beispiel

ist gegeben durch a n gleich 1 durch n, für n aus n. Da können sie ja die Folgenglieder in

einer Art Liste schreiben, in der Pünktchenschreibweise. Also wenn n gleich 1 ist, dann erhalten sie a 1

gleich 1, dann kommt ein halb, dann ein drittel, dann ein viertel, dann ein fünftel und so geht es

weiter. So kann man sich das vorstellen. Und hier sieht man, diese Folgenglieder werden immer

kleiner, aber bleiben immer größer als 0. Aber die Tendenz ist, sie können die beliebig nah an die

0 heran führen, wenn sie das n nur groß genug machen und das werden wir später als Konvergenz

gegen 0 definieren. Das ist nicht das Verhalten bei allen Folgen. Wenn sie a n gleich minus 1 hoch m

plus 1 betrachten, dann sieht das ganz anders aus. Für n gleich 1 erhalten sie ja minus 1 zum

Quadrat, das ist plus 1. Und dann kommt als nächstes minus 1, dann wieder plus 1, minus 1 und so geht es

weiter. Also hier werden zwar nur zwei Werte angenommen, aber es ist nicht so, dass die

Folgenglieder alle gegen eine Zahl gehen. Also da konvergiert eben gerade nichts. Das kommt auch vor.

Hier haben wir so ein einfaches Modell für einen periodischen Prozess. So können Sie sich das

vorstellen. Diese Folgenglieder können natürlich auch wieder von Parametern abhängen, von reellen

Zahlen x zum Beispiel. Gegeben sei eine Zahl x Element r, dann können wir a n gleich x hoch n

definieren. Das sind also die Potenzen, wie sie auch bei den Polynomen auftauchen. Das fängt hier

an mit n gleich 1, dann haben wir x, dann kommt x Quadrat, x hoch 3, x hoch 4 und x hoch 5 und so

geht es weiter. Das Verhalten hängt hier von dem Wert von x ab. Wenn zum Beispiel x gleich 0 ist,

dann sind diese Folgenglieder auch alle 0 und dann würde man auch sagen, diese Folge konvergiert

gegen die 0. Hier haben wir das n ab 1 genommen. Man kann auch Folgen haben, wo das n von der 2 ab,

die in natürlichen Zahlen durchläuft. Das kennen Sie ja von den Beweisen mit der vollständigen