Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ich möchte zuerst noch mal die Begriffe aus diesem neuen Kapitel lineare Algebra wiederholen.

Wir haben ja jetzt lineare Vektorräume definiert.

In diesen linearen Vektorräumen, die hießen bei uns meistens V, kann man die Vektoren addieren

mit Plus und mit reellen Zahlen multiplizieren. Und für diese Verknüpfungen gelten die üblichen

Rechenregeln. Wenn wir also K-Vektoren u1 bis uk in diesem Vektorraum haben, dann können wir

die mit Koeffizienten aus den reellen Zahlen multiplizieren und dann aufsummieren.

Und so etwas nennt man eine Linearkombination der Vektoren.

Also V, ein Vektor aus V ist Linearkombination von Vektoren u1 bis uk aus V.

Falls V gleich, und da gibt es verschiedene Schreibweisen.

Die Koeffizienten bezeichnen wir mit alpha 1, alpha 2 und so weiter.

Die multiplizieren wir mit den Vektoren. Also alpha 1 ist der erste Koeffizient.

Der wird mit dem Vektor u1 aus dem Vektorraum multipliziert.

Und hier lässt man den Mahlpunkt eigentlich immer weg.

Also man schreibt einfach alpha 1 u1 und meint damit alpha 1 wird multipliziert mit u1.

Und dann geht es weiter. Der zweite Koeffizient alpha 2 wird mit u2 multipliziert.

Und am Ende kommt der letzte Koeffizient alpha k und wird mit uk multipliziert.

Das ist dann so eine endliche Summe aus k summanden.

Und das schreibt man auch als großes Sigma. Das ist das Summenzeichen, ein großes Sigma.

Das j läuft von 1 bis k und dann kommen diese Ausdrücke, Koeffizient alpha j wird multipliziert mit uj.

Und wie gesagt alpha 1, alpha 2 bis alpha k sind dabei aus den reellen Zahlen.

Das ist also eine Linearkombination.

Und die Vektoren, die sind genau so definiert, dass man in diesen Vektorräumen Linearkombinationen bilden kann.

In den Vektorräumen haben sie ja diese Summe.

Das ist die Addition der Vektoren.

Und sie können mit den reellen Zahlen multiplizieren.

Und das ermöglicht es ihnen genau solche Linearkombinationen zu bilden.

Und mit diesem Begriff der Linearkombination definiert man jetzt, wann Vektoren linearabhängig und wann sie linearunabhängig sind.

Linearabhängig sind diese Vektoren u1 bis uk, wenn man einen von denen als Linearkombination aus den anderen Vektoren ausdrücken kann.

Also nehmen wir einen Index raus, falls es einen Index l Element 1 bis k gibt.

Das heißt, dass wir da einen Vektor ul auswählen können.

Und diesen Vektor ul können wir jetzt durch die anderen ausdrücken.

ul ist also gleich der Summe von j gleich 1 bis k.

Und hier nehmen wir nur j ungleich l.

Also unter dieses Summenzeichen können Sie noch schreiben, über welche Indizes da genau summiert werden soll.

Hier soll zum Beispiel nicht über l summiert werden.

Deshalb schreiben Sie darunter j ungleich l.

Also das l nehmen Sie dadurch aus der Summation raus.

Das ul steht hier ja auf der linken Seite.

Und jetzt kommt alpha j multipliziert mit uj.

Und das heißt, als Formel ausgedrückt, man kann einen der Vektoren als Linearkombination der anderen ausdrücken.

Und dann nennt man diese Vektoren u1 bis uk linear abhängig.

So sind u1 bis uk linear abhängig.

l.a. abgekürzt.

Ich schreibe es auch nochmal aus.

U1 bis uk linear abhängig.

Wenn Sie sich die Vektoren als Richtungsvektoren vorstellen, also als Vektoren, die eine Richtung kennzeichnen,

dann heißt es, also die eine Richtung ist keine grundsätzlich neue Richtung.

Die kann man auch durch die anderen Richtungen irgendwie ausdrücken.

Diese Gleichung Stern kann man auch umformen, sodass der Nullvektor in dem Vektorraum V auf der linken Seite steht.