Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen, Nürnberg

präsentiert.めて

So, jetzt beginnen wir mal mit der Wiederholung. In der letzten

Vorlesung haben Sie ja Grundbegriffe der

Analyse für mehrere Veränderliche kennengelernt.

Also, bisher hatten wir immer nur dann x aus der

realen Achse und jetzt haben wir mehrere Komponenten wie

komponenten wie man das auch im

dreidimensionalen raum hat da haben sie

länge höhe breite dann haben sie eine

ortskoordinaten mit drei komponenten und

dann läuft er noch eine zeit das gibt

noch eine t koordinaten also in der

physik in ihren anwendungen auch in den

maschinenbausystem haben sie andauernd

mehrere veränderliche deshalb ist es

natürlich gut eine analysis dafür zu

haben und zum beispiel in der tafel

eben da können sie ja so punkt folgen haben

und da hätte man auch gern so einen

konvergenzbegriff wie man das aus dem

eindimensionalen hat und die folgen im

hoch n setzten sich er aus puncten

zusammen und jeder punkt hat n

komponenten und bei einer folge können

sie die komponenten folgen einzeln

betrachten also zum beispiel die folgen

der ersten Komponenten und die Konvergenz im R hoch N, also im Mehrdimensionalen, ist

äquivalent zu der Komponentenweise Konvergenz. Also wenn jede

Komponentenfolge konvergent ist, dann ist auch die Gesamtfolge im R hoch N

Konvergent. Also Konvergenz im R hoch N ist äquivalent zu der

Konvergenz der N-Komponentenfolgen. Das notieren wir mal.

Das gilt, die Konvergenz im R hoch N ist äquivalent zu

Komponentenweise Konvergenz.

Und das können wir auch noch einmal als Satz formal formulieren.

Wir haben dann eine Folge xk, k Element n. Das ist eine Folge im R hoch N. Also

die xk sind alle Elemente, Punkte im R hoch N. Und diese Folge ist konvergent

gegen einen Grenzwert y im R hoch N. Genau dann, wenn gilt, äquivalent zu der

Aussage für jede Komponente. Um die Komponenten zu bezeichnen, brauchen wir

so einen Komponentenindex i, der ist irgendwo zwischen 1 und n.

Für alle i Element 1 bis n gilt für die i-te Komponentenfolge.

Und die bezeichnen wir jetzt mit x oben k und ein i. Das i ist jetzt fest und das k

durchläuft die natürlichen Zahlen. Für diese Komponentenfolge gilt eben der

Grenzwert lima für k gegen unendlich von xk i ist gleich yi. Also die i-te

Komponente von y.

Dieses i, der Index für die Komponente, ist ja nur Notation. Also wichtig ist,

dass sie die Vorstellung haben, sie haben Vektoren im R hoch N, die haben N

Komponenten und jetzt fixieren sie eine Komponente, dann haben sie eine

Zahlenfolge und die ist dann eben auch konvergent gegen die entsprechende

Komponente des Grenzpunktes. Also hierbei