Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, ich begrüße Sie wieder zur Mathematik. Wir haben ja jetzt gerade die zehnte Übung und die

elfte Übung. Es enthält auch noch Stoff, der bepunktet wird und der also auch noch relevant

ist für die Klausur, also was jetzt kommt ist durchaus noch relevant also

es ist sehr gut dass sie hier sind. Das ist sinnvoll. Wir sind jetzt ja in dem

Kapitel über die Analyse mit mehreren veränderlichen und da tauchen jetzt

neue Begriffe auf zum Beispiel der Gradient, den haben wir eingeführt.

Unsere Funktion f bildet jetzt den R hoch N in den R hoch 1 ab.

Hier sind also N Variablen x1 bis xn im Spiel und nach jeder Komponente dieser

Vektoren im R hoch N können wir die Funktion f differenzieren und diese

Ableitungen nach einer von N Variablen heißen partielle Ableitungen und wenn

man die zusammen fasst in einem Vektor dann erhält man den Gradienten Vektor

oder einfach kurz gesagt den Gradienten.

Gradient von f in einem Punkt x besteht also aus den partiellen Ableitungen.

Oben steht die partielle Ableitung nach der ersten Variablen und in der letzten

Komponente steht die partielle Ableitung nach der enden Variablen.

Also hier haben sie die partiellen Ableitungen.

Diese D nach D x Notation ist die ausführliche Notation. In den Übungen

haben sie ja auch gesehen man kann auch einfach f schreiben und dann im Index die

Variable nach der man ableitet. Für den Gradienten gibt es auch noch eine

kürzere Schreibweise man nennt das auch Nabla f.

Wenn eine Funktion partiell differenzierbar ist heißt das allerdings

noch nicht dass sie differenzierbar ist im R hoch N. Die Differenzierbarkeit im R

hoch N haben wir folgendermaßen definiert. Funktion f heißt

differenzierbar in einem Punkt x Null R hoch N genau dann wenn es eine Funktion g gibt

sodass folgende Gleichung erfüllt ist und diese Gleichung sieht so aus wie eine

Taylor Entwicklung bis zur ersten Ordnung von f im Punkt x Null. Lokal um

dem Punkt x Null lässt sich dann diese Funktion gut durch eine lineare Funktion

approximieren. Die Formel ist f von x ist gleich f von x Null, das ist der Funktionswert an der Stelle x Null plus

Gradient Nabla f an der Stelle x Null transponiert mal x minus x Null. Das ist

ein Skalarprodukt und das gibt den linearen Teil. Hier das können Sie sich

vorstellen wie so eine Tangente im eindimensionalen Fall dann wäre das die

Tangentensteigung und hier im mehrdimensionalen Fall haben wir keine

Tangente sondern eine Tangentialebene an den Grafen. Der Graf ist ja wenn Sie eine

Funktion im R hoch 2 haben so wie so ein fliegender Teppich also zum Beispiel so

ein Teil einer Oberfläche und da kann man dann Tangentialebenen drauf legen

und die entsprechen genau diesem linearen Anteil und jetzt kommt noch der

Rest der Fehler und der hatte Gestalt Norm von x minus x Null mal g von x und

der Witz ist das g geht dann gegen Null also Liemes für x gegen x Null von g von

x ist gleich Null. Das war diese längere Definition der Differenzierbarkeit

und die sagt aus man kann lokal die Funktion gut linear

approximieren durch so eine Tangentialebene und hier haben sie einen

normalen Vektor daneben haben wir auch Richtungsableitungen gesehen die kann

man als grenzwert definieren wie sie es vom eindimensionalen Fall her kennen von

den Ableitungen.

Also wir haben eine Richtung D und wir leiten die Funktion f ab im Punkt x

Strich in Richtung D und das ist definiert als der Liemes für h gegen Null

genau wie im eindimensionalen Fall heißt eine reelle Zahl von f von x plus h mal d

also wir laufen von x ausgehend von dem Punkt x ausgehend in die Richtung D mit

dieser Schrittweite h und bilden dann den entsprechenden Differenzenquotienten.