Hallo, ich habe überlegt, dass ich noch ein weiteres Video mache, weil ich das Gefühl

habe, dass ich diesen Punkt vielleicht in der Folge so nicht ausreichend gut erklärt

habe. Es geht um diesen Satz hier, diesen Satz über die Rechenregeln für konvergente

Folgen und ich möchte einmal extrem ausführlich darlegen, wie man mit diesem Satz umgeht.

Also die Idee von diesem Satz ist ja, dass man zum Beispiel so was machen kann, wenn

An, oder ich zeige einfach was hier drunter steht, weil das steht genau das, was ich sagen

möchte, wenn eine Folge An gegen ein A konvergiert, dann kombiniert auch ein Halb mal An plus

6 gegen ein Halb mal A plus 6. Das ist sozusagen so trivial, dass man sich, wenn man das hier

sieht, die Frage stellt, hätte ich das jetzt überhaupt zeigen müssen? Und natürlich theoretisch

ja. Ein Halb mal An plus 6 ist eine neue Folge und zu begründen, dass das jetzt hier möglich

ist, dieser Schritt, das sollte man einmal ordentlich hinschreiben. Und wir haben das

erste hier gezeigt, also das ist tatsächlich funktioniert, dass man den Grenz von einer

Summe von Folgen darstellen kann als die Summe von Grenzbänden an der Folge und so weiter.

Aber dennoch ist es vielleicht gut, wenn man jetzt einmal konkret darüber sprechen,

wie man diesen Satz hier anwendet. Das wird jetzt extrem ausführlich und extrem klein

kariert sein und faktisch werden Sie das auch kurz danach auch nicht mehr brauchen,

weil es hoffentlich alles intuitiv wird. Aber ich möchte kurz einmal sehr ausführlich

erklären, was hier unterstehen ist. Also ich habe mir jetzt hier eine Folge überlegt

und an dieser Folge wollen wir gerne ablesen, ob sie konvergiert oder nicht und dazu werden

wir eigentlich alle diese Rechenregeln brauchen, die da auf der Seite davor stehen.

So, also das ist hier diese Folge. Das ist sicherlich keine Folge, die man typischerweise

so findet, aber man kann sie aufschreiben. Die Frage ist, gegen was konvergiert die?

Wir sehen, die besteht aus Produkten, Quotienten und Summen von Einzelfolgen und das erste,

was man hier am besten macht, ist, sich den Buch zuerst anzuschauen. Wir zerteilen das

also jetzt in seine Komponenten und versuchen diese Teile einzeln zu analysieren, also diese

Einzelfolgen zu analysieren auf Konvergenz und dann mit diesen Regeln hier zusammenzubauen

zu der großen Folge, die wir hier stehen haben. Bei Brüchen mit Polynomen sollte man

immer den größten Term extrahieren. Also ich mache jetzt mal, auf der rechten Seite

mache ich immer diese Nebenrechnungen und links arbeiten wir mit der Folge weiter. Also

n² – 3 mal cos n mal n geteilt durch 2n² mal sin von n. Jetzt dividieren wir Zähler

und Nenner durch n², dann steht da 1 – 3 durch n mal cos von n geteilt durch 2 mal

sin von n. Und diese Folge, die nennen wir jetzt einfach mal bn, warum nicht, die dürfen

wir so nennen. Das heißt an, wenn wir ganz pedantisch sind, nennen wir das jetzt cn,

an ist cn mal bn, das heißt das Produkt, also es ist hier bn und cn natürlich, aber

diese zusammengesetzte Folge, die heißt bei uns an, besteht aus einzelnen Produkten, nämlich

bn und cn. Und um den Grenzwert von an auszurechnen, müssen wir den Grenzwert von cn und den Grenzwert

von bn wissen. Also schauen wir uns den Grenzwert von bn an. Jetzt müssen wir das gleich wiederzuteilen.

Also das ist jetzt bn, wir fragen uns, gegen was kommuniziert bn, das sehen wir jetzt

hier immer noch nicht sofort. Wir unterteilen das weiter in, ok bn, das ist jetzt hier, ich

nenne es einfach mal den, ja, Briebeweitungalfabet, dn durch en, wobei dn gleich 1 – 3 durch

n mal cosinus von n ist und en ist gleich 2 mal sinus von n. dn, jetzt splitten wir das

so lange auf, bis es nicht mehr weiter geht, ist fn, das ist die konstante Folge 1, minus,

naja es betreibt ein bisschen, aber ich mache es jetzt einfach trotzdem, gn durch hn mal

en, wobei gn ist die konstante Folge 3, hn ist n und en ist cosinus von n. Also ich weiß,

dass es überhaupt keinen Sinn gibt, das jetzt in dieser Granlautät runterzubrechen, aber

das ist einfach trotzdem. Das sind jetzt nämlich alles elementare Folgen, die wir erkennen.

fn konvergiert natürlich gegen 1, weil es die konstante Folge 1, gn konvergiert auch

gegen 3, also nicht auch, konvergiert gegen 3, aber es auch eine konstante Folge ist,

hn konvergiert gegen unendlich und en ist einfach nur beschränkt. So, schauen wir uns

erst mal gn durch hn an. gn durch hn, das ist jetzt nicht dieses Setting, denn die Folge,