In der letzten Vorlesung haben wir über Folgen gesprochen, über monotone Folgen und über

beschränkte Folgen und schon in der letzten Vorlesung haben wir gesehen, dass Folgen manchmal

die Eigenschaft haben, dass sie sich in gewisser Hinsicht an einen Punkt annähern und diese

Intuition lässt sich mathematisch definieren als die sogenannte Konvergenz von Folgen.

Auf dem ersten Übungsblatt werden Sie ein Verfahren sehen, die sogenannte Heron-Aboxymation,

die uns erlaubt die Zahl Wurzel z appoxymativ zu berechnen und das liefert uns eine Folge

von A0 ist gleich irgendeine Zahl, wir starten mit 4, dann bekommen wir 1 ist gleich irgendwas

wie 2,9 und so weiter und A17 ist dann schon ziemlich genau Wurzel 2 natürlich mit dem

größten Fehler und wir wollen verstehen was folgen ausmacht die diese Konvergenz Eigenschaft

haben.

Dazu müssen wir aber erstmal definieren was bedeutet Konvergenz und das erste Idee wir

wollen eine Folge A als Konvergent bezeichnen mit Grenzwert A wenn der Abstand zwischen

A1 und A für große N immer kleiner wird.

Ganz intuitiv soll das so aussehen, wir sagen mal das ist hier die Größenordnung

A, das ist diese horizontale Linie die hat Höhe A und jetzt haben wir eine Folge und

die ist natürlich nur an diesen diskreten Werten hier definiert, das ist N und diese

Folge die macht irgendetwas die muss gar nicht monoton sein aber irgendwie so im Langzeit

Verhalten passiert irgendwas mit ihr was dafür sorgt dass die Folge immer näher und immer

näher an den Punktrand geht sie kann überschießen das kann durchaus passieren aber irgendwie

soll der Abstand immer kleiner und immer kleiner werden.

Das heißt der Abstand zwischen diesem A17 und dem Grenzwert A soll klein werden.

Was heißt jetzt soll klein werden?

Also problematisch wäre zum Beispiel folgendes wir nehmen einfach die Folge an ist gleich

minus eins hoch N die ist immer abwechselnd minus eins plus eins minus eins plus eins

und jetzt die Frage wollen wir dass diese Folge einen Grenzwert hat?

Ich denke die Antwort muss sein nein, die konjugiert nicht.

Diese Folge die hat also es gäbe zwei mögliche Kandidaten für Grenzwerte nämlich gegen

eins und minus eins aber man kann nicht also es ist kein sinnvolles Konzept bei dieser

Folge zu sagen dass sie gegen eins oder gegen minus eins konjugiert weil sie entfernt sich

immer wieder weit weg von ihr.

Das heißt es genügt nicht dass der Abstand zwischen A n und einem A also in dem Fall

zum Beispiel eins klein wird sondern muss im Endeffekt auch klein bleiben und nicht

wieder extrem weit davon springen.

Also erstens der Abstand zwischen den folgenden Wiedern und dem sogenannten Grenzwert soll

klein werden und er soll klein bleiben.

Damit wir diese Intuition die wir für diesen Begriff entwickelt haben in eine mathematische

Definition nieder schreiben können.

Also das ist nur eine Definition wir können auch eine Eigenschaft definieren diese Eigenschaft

heißt diese Folge ist gelb und diese Folge ist gelb bedeutet dass sie zum Beispiel so

recht weit her springen.

Das wäre eine mathematische Definition das können wir machen diese Folge hier ist gelb

die Frage ist nur ob es ein mathematisches sinnvolles Objekt ist und es hat sich jetzt

so ausgestellt dass er die Definition die ich jetzt gleich hinschreiben werde die der

Kompagnen von folgen eine mathematisch sinnvolle weil anwendungs orientierte Definitionen des

Begriffes eine Folge geht immer näher an ein Grenzwert heran ist aber lange genug herum

gesprochen.

Das ist jetzt die Definition jetzt sprechen wir erstmal über das hier und dann überlegen

wir uns warum das auch tatsächlich das widerspiegelt was wir uns gerade überlegt haben.

Es sei an eine Folge in C also darf natürlich auch eine reellwertige Folge sein.

Das lässt sich auch noch auf ausweiten auf folgen in komplizierteren mathematischen Räumen