In Aufnahme 6 geht es um Potenzweile.

Die erste Potenzweile, die wir uns anschauen, ist die Reihe k gleich 0 bis unendlich von

k² mal x minus 1 hoch k.

Der Konvergenzradius ist über diese Konvizienten ak hier definiert und zwar der Limes, ich

schaue erstmal was der Limes Superior der Kartenwurzel aus dem ak ist.

Für k gegen unendlich.

Das ist der Limes Superior.

Kartenwurzel aus k², das ist also das existierte Grenzbett, wir wissen, dass das hier ein Grenzbett

hat.

Die hoch 2 ziehen wir raus, Kartenwurzel aus k² und das hier konvergiert gegen 1, das

heißt das hier ist gleich 1.

Das bedeutet der Konvergenzradius ist 1 durch 1, also 1.

Das bedeutet die Reihe konvergiert auf, wir müssen aufpassen, nicht auf minus 1 bis 1,

sondern auf 0 bis 2, die Grenzen nicht eingeschlossen erstmal.

Warum 0 bis 2?

Weil 1 der Mittelpunkt der Potenz 2 ist, also der Punkt um den sie entwickelt ist und plus

minus einmal den Konvergenzradius haben wir gerade 0 und 2.

Das heißt, was ist mit 0 und 2?

Also für x gleich 0 haben wir hier die Reihe k gleich 0 bis unendlich von k² mal 0 minus

1 auf k, also minus 1 auf k und das divergiert.

Und genauso für x gleich 1 haben wir die Reihe k gleich 0 bis unendlich von k², das

divergiert auch.

Das heißt, es bleibt dabei, die Reihe konvergiert, also der Konvergenzbereich der Reihe ist das

offene Intervall 0 bis 2.

Nächste Aufgabe, jetzt haben wir die Reihe k gleich 0 bis unendlich von k² mal x hoch

k.

Die Formel für den Konvergenzradius können wir hier wieder ausnutzen.

K den Wurzelhaus k von k, das wissen wir, das existiert, das ist unendlich, das bedeutet,

der Konvergenzradius R ist 1 durchendlich, also wenn der Limousin Pär unendlich ist,

dann ist der Konvergenzradius 0.

Das heißt, der einzige Punkt der eine Chance hat hier zu konvergieren ist x gleich 0 und

da bekommen wir die Reihe k gleich 0 bis unendlich von k² mal 0 hoch k und das ist gleich 0,

das ist Pär unendlich.

Das heißt, die Potenzreihe konvergiert auf den Konvergenzbereich, nämlich der Menge,

die nur den Nullpunkt umfasst.

Nächste Aufgabe, jetzt haben wir die Potenzreihe k gleich 0 bis unendlich von k hoch 3 durch

k plus 1 Fakultät mal x minus pi hoch k.

Wie immer, Limousin Pär über der Kartenwurzel aus k hoch 3 durch k plus 1 Fakultät.

Das können wir jetzt auseinander ziehen, nach den rechten Regeln für Grenzwerte, die

ganzen Grenzwerte existieren.

Kartenwurzel aus k hoch 3 durch den Grenzwert k gegen unendlich, Kartenwurzel aus k plus

1 Fakultät.

Das ist ein bisschen formal, eigentlich darf ich sie nicht durchteilen, weil das unendlich

ist und ich darf sie nicht unendlich teilen, aber wir wissen was gemeint ist, wenn das

hier unten gegen unendlich konvergiert, dann konvergiert das Ganze hier gegen 0.

Das hier, die Kartenwurzel aus k, konvergiert gegen 1, das heißt der Zähler konvergiert

auf jeden Fall gegen 1.

Das heißt, das ist 1 durch Limousin Pär gegen unendlich.

Wir schränken jetzt noch nicht genau die Formen, mit der wir klarkommen, deswegen machen wir

Kartenwurzel aus k plus 1 mal Kartenwurzel aus k Fakultät.