Hallo, willkommen zurück. Wir machen jetzt in dieser Woche weiter mit dem Stoff und es

geht jetzt in dieser Woche und auch in der folgenden Woche um das Thema Differenzierbarkeit.

Differenzierbarkeit hat zum Ziel, dass man das Steigungsverhalten von Funktionen beschreibt

und da schaut man sich jetzt mal diese Funktion an. Eine affinlinäre Funktion, die sieht

ungefähr so aus. Also a und b sind jetzt hier zwei Konstanten und b kann man sehr leicht

deuten. Wenn wir x gleich 0 einsetzen, dann bekommen wir f von 0 gleich b raus. Das heißt

b ist hier der Wert, den die Funktion beim Schnitt durch die y-Achse hat. Die Frage ist,

welche bedeutet dieses a hier? Es ist nicht der Schnitt dieser Funktion mit der x-Achse,

sondern es ist etwas anderes. Es ist nämlich die Steigung dieser Funktion und zwar die

Steigung der Funktion in jedem Punkt x aus R. Und was hat es zu bedeuten? Also was heißt

Steigung? Man muss sich das jetzt so vorstellen, wenn wir das Argument x ein bisschen stören

um einen Wert delta x. Also wir schauen uns an, was ist f von x plus delta x? Weil delta

x ist jetzt nicht irgendwie ein mathematisches Symbol, sondern es soll einfach nur heißen,

dass es eine Zahl, die sehr klein ist. Also stellen Sie sich das Ganze vor als eine, eine

delta x. Wir können es auch R nennen oder sowas. Man sagt, dass es einfach delta x

ist. Und wir ziehen davon f von x ab. Also wir schauen jetzt hier, was ist x und jetzt

ein bisschen rechts davon, x plus delta x. Und jetzt vergleichen wir f von x plus delta

x und f von x. Dann ist das a mal x plus delta x plus b minus a mal x plus b. Und jetzt

fällt hier ziemlich viel weg, also a mal x fällt weg, b fällt weg und übrig bleibt

a mal delta x. Das heißt bei dieser Funktion ist es so, wenn wir das Argument x um ein

kleines bisschen delta x stören, dann ändert sich auch die Response sozusagen von f, also

das was f generiert, der Funktionswert von f, der ändert sich auch und zwar proportional

zu delta x mit Proportionalitätskonstante a. Man kann es jetzt so schreiben, symbolmäßig.

Ja das ist so, delta f ist a mal delta x oder delta f durch delta x ist gleich a. Das ist

sozusagen jetzt hier, das hier nennt man delta f, das ist die Variation in f, wenn wir x

um delta x stören und dann ist delta f durch delta x gleich a. Und das führt dann später,

wenn man es jetzt richtig macht, dann mit Differentialrechnung zu folgendem Begriff

df nach dx. Wir wissen überhaupt nicht was das ist, oder man kann auch schreiben f, f

Strich von x oder deswegen auch df mit normalen ds dx und so weiter. Das sind jetzt hier verschiedene

Notationen. Für affinlinäre Funktionen ist es hier exakt, also delta f ist genau a mal delta x

und für nicht affinlinäre Funktionen, da braucht man Differentialrechnung. Also hier ist der

Differenzen kursiert. Noch mal hier ne Grafik dazu. Angenommen das hier ist die Funktion und jetzt

schauen wir uns an, was ist x1, hier ist x1, hier ist x2 und sieht dann so aus, hier ist x1, x2,

hier ist f von x1, hier ist f von x2 und der Quotient von, das hier ist delta f und das hier

ist delta x. Der Quotient davon ist genau die Steigung der Geraden, der Sehkante, also die

solche Schneiden, ich muss das noch ein bisschen besser zuzeichnen, die schneidet hier diese Funktion, eine Sehkante, eine schneidende

Gerade und das ist genau der Quotient von ich sag jetzt mal Gegenkathete zu Ankathete, das heißt

je größer diese Gegenkathete ist, desto steiler ist diese Kante und desto größer ist dieser Differenzen

Quotient. Hat noch nichts mit Ableitung zu tun, also wenn Sie jetzt an Ableitung denken, das ist schon, das wird in die Richtung gehen, aber was ist hier passiert,

einfach nur der Differenzen Quotient, also wie viel passiert hier von x1 nach x2 sozusagen und für

diese affinliäre Funktion können wir das ganze hier hinschreiben und kürzen und dann kommt einfach

genau immer A raus. Also das ist jetzt für diese affinliäre Funktion sehr einfach, für eine

nichtlinäre Funktion haben wir jetzt hier so einen Steigungsdreieck durch so eine nichtlinäre Funktion f.

Und was bedeutet Steigung bei so einer Funktion, das hat keine Bedeutung wirklich, wir können es hier nicht so exakt kürzen und so weiter, aber wir können uns vorstellen, wenn wir uns für die Steigung dieser Funktion interessieren, dann ist wohl die richtige Idee, dass man x2 immer näher an x1 laufen lässt, f von x2 immer näher an f von x1 und aus dieser

Sekante, dieser Punkt der läuft jetzt entlang von dieser Kurve da rüber und was wir am Schluss bekommen sollten, ist so eine Tangente, die sich hier so anschmiegt und die Steigung der Tangente, die wohl definiert ist, weil das eine affinliäre Funktion, also die Steigung der Tangente, das sei dann die Steigung der Funktion in diesem Punkt.

Dann war quasi die Tangente mitwandert mit dem Funktionsgraf, wenn wir x variieren, bekommen wir dann in jedem Punkt eine andere Steigung raus.

Also Sekanten können wir immer machen, da müssen wir zwei Punkte x1 und x2 wählen und wenn wir x2 immer näher an x1 laufen lassen, bekommen wir als Grenzwert sozusagen wieder Sekanten eine Tangente.

Und diese Steigung der Tangente ist dann der Grenzwert der Sekantensteigungen und das nennen wir dann die Ableitung.

Okay, also machen wir es mal nochmal formal, mathematisch. Wir haben auch noch eine Funktion f, die ist auf einem Definitionsbereich definiert, den schreiben wir jetzt offen, also mit offenen Klammern ohne a und b jetzt, weil dann müssen wir uns um links und rechts die Grenzwerte kümmern, das wollen wir jetzt nicht.

Wir schauen uns wirklich nur einen offenen Definitionsbereich an, weil wir a und b durchaus minusendlich und plusendlich sein dürften.