Hallo, wir machen jetzt die Grundaufgaben von Blatt 8 und in der ersten Aufgabe, in

Persönsaufgabe 22 geht es um Extremwertrechnung. In Teilaufgabe A haben wir folgende Funktion,

die geht von 0,2 nach R und hat den Funktionswert f von x ist gleich x minus Wurzel x. Bei Extremwertrechnung

müssen wir uns immer überlegen, welche Punkte kommen in Frage als Kandidaten für lokale

Extremwerte und das immer kritische Stellen, also Punkte, in denen die A-Leitung verschwindet,

Stellen bei denen f nicht differenzierbar sind. Er ist, das brauchen wir hier nicht berücksichtigen,

weil die Funktion überall differenzierbar ist auf dem Bereich außer in der 0. A war, 0 ist

übrigens auch ein Randpunkt hier, das im Beziehungsbereichs, das heißt dieser Punkt

ist auch schon abgedeckt. Da können wir diesen Punkt hier ignorieren, weil die einzige Stelle,

wo f nicht differenzierbar ist, das ist der Nullpunkt, weil hier die Wurzelfunktion nicht

differenzierbar ist und das ist auch schon ein Randpunkt. Das heißt wir fangen mal an mit den

kritischen Stellen, die A-Leitung f' von x ist 1 minus 1 durch 2 Wurzel x und f' von x ist

gleich 0. Das ist genau dann, wenn 1 gleich 1 durch 2 Wurzel x ist, anwortend wenn 2 Wurzel x

gleich 1 ist oder wenn x gleich 1 Viertel ist. Okay, das ist also eine kritische Stelle,

eine x gleich 1 Viertel. Es gibt verschiedene Möglichkeiten damit umzugehen, wir können jetzt entweder die

zweite A-Leitung bestimmen oder wir überlegen uns das andere. Jetzt nehmen wir erstmal die Randpunkte.

f von 0 ist gleich 0 und f von 2 ist gleich 2 minus Wurzel 2 und den Punkt 1 Viertel,

was ist da f? f von 1 Viertel ist gleich 1 Viertel minus 1 Halb, das ist minus 1 Viertel.

Okay, so jetzt wissen wir f ist stetig und 0,2 ist kompakt. Daher wissen wir f nimmt auf 0,2 sowohl

Maximum als auch Minimum an. Die Kandidaten für Minima und Maxima, die wir uns gerade angeschaut haben,

Kandidaten für extremer sind 0,1 Viertel und 2. Also muss sowohl das Minimum, das existiert noch das

Maximum, welches existiert in dieser Liste von Punkten drin sein. Jetzt wollen wir sehen f von 0 ist

gleich 0, f von 1 Viertel ist gleich minus 1 Viertel und f von 2 ist gleich 2 minus Wurzel 2.

Bei 2 minus Wurzel 2 größer als 0 ist, sehen wir das Minimum liegt bei x gleich 1 Viertel.

Denn das ist der Kandidat für Extremum, der hier den kleinsten Funktionswert hat.

Das wird jetzt auch schon genügen. Wir können es aber auch noch mit der zweiten Ableitung überprüfen.

Das genügt schon diese Begründung. Aber für die Vorstellung haben wir noch mal die zweite Ableitung.

f' von x, das ist minus 1 durch 2 Wurzel x abgeleitet. Minus 1 durch 2 Wurzel x abgeleitet.

Das ist minus ein halb, mal x hoch minus ein halb abgeleitet. Das ist minus ein halb nach vorne ziehen,

haben wir ein Viertel x hoch minus drei halbe und f' von ein Viertel, das ist irgendeine Zahl,

aber sie ist auf jeden Fall größer als 0. Soviel können wir ja sagen. Daraus folgt nach dem Einsatz der Vorlesung,

dass x gleich ein Viertel tatsächlich ein lokales Minimum ist. Und weil es auch den allerkleinsten Wert hat

von allen Kandidaten für Extremer, ist auch das globale Minimum.

Also jetzt gehen wir mal zum Maximum über. Da müssen wir uns die anderen Kandidaten anschauen

und den größten Wert in die Funktion in diesen Kandidaten in Punkt 2 an.

Denn f' von 2 ist größer als f' von x' Stern für alle anderen Kandidaten.

Wenn man diese Funktion jetzt zeichnen möchte, kann man das auch machen.

Hier bei 2 haben wir das Maximum, hier bei 1 Viertel das Minimum und bei 0 haben wir den Wert 0. Das ist f'. Okay nächste Aufgabe Teilaufgabe b.

Bei Teilaufgabe b haben wir die Funktion, die ist auf 0 bis 1 durch die Wurzel e definiert. 0 ausgeschlossen, 1 Wurzel e eingeschlossen.

Nach R, x wird abgewählt auf f von x, was x mal die Rhythmus von x ist.

Das ist ein bisschen komplizierter, das ist hier kein kompaktes Refektionsgebiet.

Das heißt wir können das hier nicht ganz so einfach machen wie davor. Wir müssen hier den Rand mit dem Grenzwertprozess abchecken.

Fangen wir an mit den kritischen Stellen. f' von x ist gleich 1 mal a x plus x mal 1 durch x also plus 1.

Dann ist f' von x gleich 0, genau dann wenn f' von x gleich minus 1 ist, also genau dann wenn x gleich 1 durch e ist.

1 durch e ist kleiner als 1 durch Wurzel e und ist also noch größer als 0. Das heißt 1 durch e ist tatsächlich im Definitionsbereich drin, was ja auch wichtig ist.

Das wissen wir noch nicht, ob es jetzt ein Minimum ist oder ein Maximum oder ein Sachepunkt. Das wissen wir alles noch nicht.

Also wir stimmen auf den zweiten Bleibpunkt. f' von x ist vielleicht 1 durch x und jetzt sehen wir schön, aha f' von 1 durch e, das ist e, das ist größer 0, das bedeutet 1 durch e ist ein Minimum.

Jetzt müssen wir mal die Rechnung durchgehen, damit ich keinen Fehler gemacht habe.

Also, müsste richtig sein.

Jetzt noch die Randbetrachtung. Den rechten Rand können wir einsetzen. f' von 1 durch Wurzel e, das ist 1 durch Wurzel e mal Logo von 1 durch Wurzel e.