Jetzt geht es weiter mit den typologischen Grundbegriffen, die wir schon in einer Dimension besprochen haben.

Die haben wir so ein bisschen gestriffen, nicht so wahnsinnig ausgeführt, was das alles genau bedeutet.

Es liegt auch so ein bisschen daran, dass das in einer Dimension so ein bisschen trivial ist, sage ich jetzt mal, weil offen einfach nur offensiv Wahl bedeutet.

Abgeschlossen hat einfach nur abgeschlossen, zur Wahl oder Vereinigung darf man.

In höheren Dimensionen ist es dann durchaus ein bisschen nicht trivialer.

Und fangen wir mal an mit Offenheit. Eine Teilmenge von einem normalen Lektor ist offen.

Ich mal mal sowas. Also diese Menge hier ist vielleicht offen.

Mal sehen, wenn es für jeden Punkt x0 in M eine Kugel gibt, die kann sehr klein sein, sodass die Kugel k epsilon um x0, also die Menge aller Punkte, die Abstand maximal epsilon von x0 haben, ganz in der Menge M drin liegt.

Das müssen wir also jetzt für jeden Punkt x0 in diesem M überprüfen. Für diesen Punkt wird es funktionieren, für diesen Punkt wird es funktionieren, für diesen Punkt wird es funktionieren.

Wir sehen, das einzige Problem, was passieren kann, ist eigentlich, wenn wir hier so hingehen.

Wenn wir so einen Punkt wählen können, der auf dem Rand der Menge liegt, wir haben noch nicht besprochen, was der Rand ist, aber es ist visuell der Rand, dann klappt es hier nicht.

Hier können wir keine Kugel wählen, die ganz in M drin liegt.

Die eine Hälfte der Kugel wird immer außerhalb von der Menge M liegen und nicht in der Menge M.

Das heißt, der Rand darf eigentlich nicht dabei sein, aber wie kann es sein, den Rand hier so rauszunehmen.

Wenn wir den Rand rausnehmen, existiert da nicht einfach nur ein noch weiter drin liegender Rand, aber der Punkt ist wie beim offenen Intervall, dass man gerade so diesen Rand nicht lässt, aber jeden Punkt, der beliebig nah am Rand liegt.

Also diese Punkte hier, wenn wir da das rein zoomen, da ist der sehr nah am Rand dran, aber wir können trotzdem eine kleine Kugel finden, die immer noch ganz in M drin liegt.

Um noch näher anzugehen, müssen wir die Kugel noch kleiner machen. Das heißt, offene Mengen sind gewissermaßen das Äquivalent von offenen Intervallen für höhereminiale Vektoreien.

Eine Timing heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement in V offen ist.

Also genau das Gegenteil, das Komplement von M ist jetzt alles, was außerhalb liegt, inklusive dieser gestrichelten Linie und das ist eine abgeschlossene Menge.

Ein Punkt heißt der Randpunkt oder ein Punkt, der zum Rand gehört. Dieser Rand heißt del M.

Ich nenne es noch del, die Symbolen sprechen wir als del aus. Wenn es für jedes noch so kleine Epsilon einen Punkt in der Epsilon-Kugel gibt, also das ist das hier M und das hier ist ein X0, der ist auf dem Rand von del M, weil egal wie klein wir die Kugel machen, es gibt immer einen Punkt X1,

der in M und in der Kugel liegt und es gibt immer ein X2, der in der Kugel liegt und im Komplement von M, also in V ohne M.

Und ein Punkt heißt Häufungspunkt eine Menge, wenn es eine Folge gibt in M, aber nicht M, nicht X selbst, sodass diese Folge gegen X0 geht.

Das Innere einer Menge ist eigentlich, das hängt ganz eng mit dieser Offenheitsbedingungen zusammen, dass die Menge an den Punkten in M, sodass man einen Epsilon findet, sodass diese Kugel in M drin liegt. Das heißt, das ist sozusagen die größte offene Teilmenge von M.

Also M, kriegen wir M, ist auf jeden Fall in M und ist die größte offene Teilmenge von M. Der Abschluss von M ist M vereinigt mit seinem Rand.

Entweder M hat schon seinen eigenen Rand oder der Rand ist schon drin, dann macht das nichts aus oder man fügt eben noch den Rand mit zu.

Hinter diesen Begriffen steckt ziemlich viel, die haben sehr viele Eigenschaften, es ist einfach damit umzugehen und so, aber wir werden das gleich brauchen, um über maximal M reden zu können.

Ohne Beweis also folgende Sachen, das Innere einer Menge ist die Menge ohne ihren Rand, der Rand einer Menge ist das gleiche wie der Rand des Komplimentes der Menge und ist das gleiche wie der Schnitt des Abschlusses von M und dem Kompliment von M.

Und Mengen sind offen und abgeschlossen genau dann, wenn sie entweder ihr eigenes Inneres sind oder wenn sie ihr eigener Abschluss sind.

Also ich weiß dahinter steckt viel, das ist alles nicht besonders einfach, wir brauchen eigentlich nur diese Aussagen, damit man damit rechnen kann.

Und im Rho N gilt aufgrund der Normenequivalenz, dass diese ganzen Begriffe, warum sollten die von irgendwelchen Normen abhängig sein,

diese Kugeln hier zum Beispiel hängen von Normen ab und Häufungspunkte hängen von der Konvergenz ab, das heißt auch das hängt von der Norm ab.

Das heißt diese Begriffe, die sind normabhängig, aber im Rho N sind die unabhängig von der Norm, weil alle Normenequivalenz sind.

Das heißt Achtung, in unnichtem Sonderverwaltungen, falls Sie ab und zu mit denen arbeiten, da hängt das davon ab.

Das heißt eine offene Menge in Rn mit der Euklidstermin ist genau dann offen, wenn sie auch offen im Rho N mit der Subrionsnorm sind.

Und warum brauchen wir das? Wir brauchen das, um über abgeschlossene Mengen im Rho N sprechen zu können.

Was sind abgeschlossene Mengen? Das wissen wir. Abgeschlossene Mengen sind Mengen, deren Abschluss, also das ist jetzt hier das Wichtigste, was wir für die nächste Aussage brauchen.

Das verdeckt jetzt ein bisschen die Hauptaussage.

Eine Menge ist abgeschlossen, wenn M das gleiche ist wie M vereinigt mit dem Rand von M, weil M-Affluss ist das hier, mit anderen Worten.

Wenn der Rand von M schon eine Teilmenge von N ist, also der Rand von M schon in M drin ist. Wenn der Rand dabei ist, dann heißt eine Menge M abgeschlossen.

Wenn wir eine Funktion haben auf ein Definitionsbereich D und dieser Definitionsbereich muss kompakt sein.

Kompakt heißt im Rho N abgeschlossen und beschränkt. Wir wissen, was beschränkt bedeutet.

Es gibt eine große Kugel, die außen rum liegt, die alles einklammert und sie muss abgeschlossen sein.

Das heißt der Rand muss dabei sein. Dann ist die Funktion beschränkt und sie nimmt ihr Minimum und ihr Maximum an.

Das heißt es gibt konkrete Punkte x1 und x2, sodass das Infimum und das Supremum der Funktion gleich Auswertung von F im konkreten Punkt x1 und x2 sind.

Der Beweis geht genauso wie R. Man macht dann wieder Bolzano-Weierstraß und ist dann fertig.

Der nächste Begriff, den wir brauchen, ist der Begriff des Wegzusammenhangs. Wir lassen das Weg weg.

Eine Menge heißt zusammenhängend, wenn es für zwei Punkte x1 und x2 immer einen Weg gibt, also eine stetige Abbildung, die von 0,1 nach Rm geht.

Sodass Gamma von 0 gleich x1 ist und Gamma von 1 gleich x2 ist und der kompletten M verleucht.

Ok, erstmal was sind Wege? Also Gamma 0,1 nach Rm. Also nochmal hier diese Funktion. Hier das da. Und ein Weg ist so eine Abbildung.