Nachdem wir im ersten Teil der Vorlesung uns mit dynamischen Systemen beschäftigt haben

und mit den wichtigsten Begrifflichkeiten vertraut gemacht haben,

wollen wir in diesem neuen Abschnitt der Vorlesung uns mit der sogenannten Stabilitätsanalyse

für dynamische Systeme beschäftigen. In diesem Fall werden wir uns auf kontinuierliche dynamische

Systeme beschränken. Sie erinnern sich, es gab da die Unterscheidung zwischen diskreten

und kontinuierlichen Systemen und wir beschäftigen uns nur mit kontinuierlichen Systemen, deren

Dynamik durch gewöhnliche Differentialgleichung oder autonome gewöhnliche Differentialgleichungssysteme

gegeben sind. Wir interessieren uns bei der Stabilitätsanalyse vornehmlich mit der Frage,

wie sich kleine Störungen von Zuständen im System auf die Lösung der zugrunde liegenden

gewöhnlichen Differentialgleichung auswirken. Das müssen wir uns so vorstellen, wir haben uns einen

Zustand ausgesucht, für den können wir die gewöhnliche Differentialgleichung lösen, da können wir

explizit vielleicht auch Lösungen angeben. Jetzt ist die Frage, wenn man jetzt auf die Realität

schaut und dieser Zustand nicht ganz perfekt abbildbar ist, sondern macht kleine Fehler,

sei es durch Messungen oder durch Fehler im Versuchsaufbau, dann fragt man sich,

wie stabil ist die Lösung unter diesen kleinen Störungen? Und das fassen wir alles zusammen

unter dem Begriff der Stabilitätsanalyse. Welche Zustände sind interessant? Typischerweise

schauen wir uns periodische Orbits an, die sind interessant und man fragt sich, ob diese Orbits

weiterhin periodisch sind, wenn ich nur leicht daneben liege oder ob sie dann vielleicht divergieren,

vielleicht sogar gegen einen Punkt konvergieren oder aber Ruhelagen eines dynamischen Systems sind

auch sehr interessant. Das heißt immer dann, wenn unser dynamisches System sozusagen in einem

Gleichgewichtszustand ist, dann wollen wir wissen, wenn wir leicht daneben liegen, kommen wir wieder

in diesen Gleichgewichtszustand oder bricht dann das totale Chaos aus. Wir werden uns vor allem in

dieser Vorlesung mit Ruhelagen beschäftigen und die Stabilität von Ruhelagen anschauen,

da diese in vielen technischen und physikalischen Anwendungen am interessantesten sind und wir fangen

natürlich erstmal an, die wichtigsten Stabilitätsbegriffe für Ruhelagen im Folgenden

zu definieren. Das heißt, der erste Teil dieses Videos wird sich um Stabilitätsbegriffe drehen.

Wir müssen jetzt erstmal definieren, wann wir eine Ruhelage stabil nennen und wir erinnern uns

daran, wir haben bereits bei dynamischen Systemen und Phasenflüssen eingeführt, was überhaupt die

Ruhelage eines Punktes ist. Das wollen wir nochmal kurz wiederholen, damit wir wieder im Thema sind.

Also Wiederholung. Wir nennen einen Punkt im Phasenraum. Den wollen wir jetzt mal mit x bezeichnen.

Und u hat man über den Phasenraum genannt. Im Phasenraum u, den nennen wir Ruhelage.

Naja, falls der zugehörige Phasenfluss, den wir definiert haben, immer wieder auf diesem Punkt

abbildet für beliebigen Zeitpunkt t, das heißt sozusagen, falls der Punkt x ein Fixpunkt ist des

Phasenflusses in Bezug auf das zweite Argument. Also Ruhelage, falls für den zugehörigen Phasenfluss.

Und den hatten wir mit Groß phi bezeichnet und der bildet ab von dem Zeitintervall i und dem

Phasenraum wieder in den Phasenraum des dynamischen Systems. Folgendes gilt und zwar muss für solch ein

Punkt der Ruhelage es gelten, dass wenn ich phi von t,x abbilde, dann lande ich wieder bei x und das

für alle t aus dem Zeitintervall i. Genau, das können wir umschreiben. Das ist eigentlich

gleichzusetzen mit, dass der Punkt x im Phasenraum ein Fixpunkt des Flusses ist.

Ist ein Fixpunkt des Flusses. Gut, da haben wir jetzt wiederholt, was eine Ruhelage ist.

Jetzt können wir uns mit der Frage gleich beschäftigen, wie wir Stabilität für

solch eine Ruhelage definieren. Wir sehen aber auch ein, dass für unsere autonomen

Differentialgleichungssysteme die Ruhelage charakteristisch gegeben sein kann durch

die rechte Seite der Differentialgleichung. Warum ist das so? Wir können festhalten,

für autonome, ich schreibe mal kurz, DGL-Systeme, die wie folgt gegeben sind. Wir suchen im Prinzip

eine unbekannte Funktion x im Phasenraum zum Zeitpunkt t und wollen die Ableitung wissen.

Die ist gegeben durch eine rechte Seite f von x und hier schreiben wir explizit nicht in

Abhängigkeit von der Zeit. Dann sind wir in einem autonomen Differentialgleichungssystem,

was die Voraussetzung ist für dynamische Systeme. Wir wissen, dass jetzt der Punkt x im Phasenraum

eine Ruhelage ist, falls die rechte Seite gleich Null ist. Eine Ruhelage, falls gilt x ist Null