Im letzten Video haben wir uns mit k-multilinearen Abbildung beschäftigt als Verallgemeinerung von

Linearformen und wir haben damals immer über die Menge der k-multilinearen Abbildung zwischen

R-Vektorräumen V1, Vk in den Vektorraum W gesprochen und wir haben ganz explizit immer nur gesagt die

Menge und in diesem Video wollen wir sehen, dass diese Menge durchaus viel mehr mathematische

Struktur hat als wir bisher angenommen und diskutiert haben, denn es handelt sich wie wir sehen werden

um einen eigenständigen Vektorraum der Multilinearform und dazu wollen wir uns in diesem Video einiges

noch anschauen. Das heißt wir beginnen zuerst mit dem entsprechenden Lemma, das uns sagt, dass die

Menge der Multilinearform ausgestattet mit den richtigen Verknüpfungen, nämlich der Addition und

der skalaaren Multiplikation, die Struktur eines Vektorraums besitzt. Das heißt wir beginnen mit

folgendem Lemma. Wir nehmen erstmal wieder einen Index unserer Multilinearität, dann nennen wir k,

das heißt k aus den natürlichen Zahlen und wir haben entsprechend k viele R-Vektorräume. Wir ändern

uns dran, das gilt für allgemeine Körper, aber wir haben gesagt, die Einfachheit halber nehmen wir

mal anders als über den Körper R definiert. Das heißt wir haben die Vektorräume V1 bis Vk sowie

einen Zielvektorraum, den wir abbilden, den nennen wir W. Das sind reelle Vektorräume.

Es könnten jetzt einfach nur euklidische Räume sein, es könnten aber auch Funktionenräume sein,

das ist alles allgemein machbar. Das sind die Voraussetzungen und dann sagen wir,

dann ist die Menge der k-Multilinearen Abbildung, die haben wir so bezeichnet mit L hoch k über

dem kathesischen Produkt V1 bis Vk, die abbilden nach W, dieser jetzt ein Vektorraum über R,

ist also auch ein reeller Vektorraum und zwar bezüglich der folgenden Verknüpfung, nämlich

einmal die Addition von Elementen dieser Menge, die ist wie folg definiert, wir nehmen eine

Abbildung, die k-linear ist nämlich 4,1 und addieren eine zweite Abbildung, 4,2 dazu. Das

ganze müssen wir noch anwenden auf Elemente unserer Vektorräume V1 bis Vk, das heißt die

Argumente hier sind z1 bis zk nennen wir sie mal. Das ganze ist definiert, wie man sich das

auch überlegen würde, nämlich dass ich dann einfach die Anwendung der einzelnen k-linearen

Abbildung auf diese Argumente zusammen addiere. Das heißt ich habe ein V1 von z1, zk plus V2,

z1, zk und zwar für k-linäre Abbildungen, die in dieser Menge liegen. Also V1, V2, Element dieser

Menge Lk, V1, kritisisches Produkt Vk mit Zielvektorraum W und wir brauchen auch noch

Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation mit Skalaren aus dem Körper, das ist bei uns R.

Multiplikation mit Skalaren, die wollen wir Lambda nennen. Wie ist das definiert? Auch so wie man

sich das vorstellt, wenn ich eine k-linäre Abbildung multipliziere mit einem Skalar Lambda

und das Anwender auf die Argumente z1 bis zk, dann ist das ganze so definiert, dass ich einfach

nur Lambda multipliziere an die Anwendung von Phi auf z1 bis zk. Das für alle Lambda und eben

für alle Funktion Phi aus diesem Raum, sprich für Phi aus dem Raum Lk, V1, Vk mit Abbildungen

nach Mw. Genau und das ist schon alles was das Lemma sagt, nämlich wenn ich diese beiden

Verknüpfungen betrachte, die Addition von k-linären Abbildungen und die Skalare Multiplikation,

dann erhalte ich zusammen mit dieser Menge eine Vektorraumstruktur und der Beweis ist nicht

besonders schwierig, man muss einfach nur die Eigenschaften der k-Linerität aus ausnutzen.

Darum haben wir uns gedacht, wäre das eine schöne Übungsaufgabe für Sie auf dem nächsten Übungsblatt.

Ich muss eigentlich nur zeigen, dass die Verknüpfungen wohl definiert sind auf der

Menge der k-Linären Abbildung und dass sie abgeschlossen sind. Das heißt, wenn ich so

verknüpfe, dann lande ich wieder in der Menge und dann habe ich gezeigt, dass das Ganze eine

R-Vektorraumstruktur aufweist. Jetzt wollen wir uns das Ganze nochmal für einen Spezialfall genauer

anschauen, um zu verstehen, wie sieht denn dieser Vektorraum der k-Linären Abbildung aus. Und zwar

schauen wir uns das nochmal für den ganz einfachen Fall k gleich 1 an. Da haben wir auch schon gesehen

beim letzten Mal, dass es sich für k gleich 1 um den algebraischen Dualraum handelt. Also,

wie wir zuletzt gesehen haben, das war das Beispiel im letzten Video,

erhalten wir für k gleich 1, das ist eine Einz-Linierform, einen wichtigen Spezialfall,

nämlich den algebraischen Dualraum. Das war gerade die Menge aller linearen Abbildungen.

Wir wissen jetzt mit dem Lämmer oben, dass es sogar ein Vektorraum der linearen Abbildung ist.

Den algebraischen Dualraum, den können wir so bezeichnen, V-Stern hatten wir ihn immer genannt,