Im letzten relativ abstrakten Video haben wir uns mit den Isomorphien der Tensorprodukte

beschäftigt. Das Video war relativ lang und sehr theoretischer Natur und die Ergebnisse,

die wir aus der Vorlesung mitgenommen haben, liefern uns im Prinzip die Grundlage für das,

was wir in diesem Video besprechen möchten, nämlich ein sehr schönes und wichtiges Resultat,

das uns erklärt, dass wir Tensoren auch als Multilinierform interpretieren können,

was gerade in der Physik in manchen Anwendungen von Vorteil ist. Das heißt, wir werden jetzt

sozusagen wieder anschaulicher und mit mehr Beispielen arbeiten in diesem Video und sozusagen

die Resultate der letzten Vorlesung zusammenfassen, um daraus jetzt spannende Aussagen treffen zu

können. Wir fangen auch direkt an mit einem Korrular, das sozusagen die Ergebnisse alle

zusammenfasst, diese gesamten natürlichen Isomorphismen der Tensorprodukte und wir

beginnen direkt mit diesem Korrular, das auch den gleichen Titel trägt wie diese Vorlesung.

Korrular, Tensoren als Multilinierform.

Und da werden wir jetzt diese unterschiedlichen Isomorphismen alle geschickt miteinander verknüpfen,

um sozusagen zu verstehen, dass wir Elemente des Tensorproduktraumes wirklich als eine

Linearform interpretieren können. Wir machen das Ganze erst wieder für den bilinearen Fall und

werden anschließend sehen, dass wir das Ganze auch für K-Multilinierform hochziehen können.

Also beginnen wir einmal mit den Voraussetzungen, die wir immer brauchen. Sein V und W, zwei

reelle und in diesem Fall ganz wichtig endlich-dimensionale Vektorräume. Ich gebe

das mal kurz hervor, das gilt hier nur im endlich-dimensionalen. Glücklicherweise sind

die Anwendungen, mit denen wir uns in der Physik beschäftigen, alle endlich-dimensional in der Regel.

Endlich-dimensionale Vektorräume und wir betrachten das Tensorprodukt. Hier auch wieder wichtig,

wir könnten irgendeins nehmen, aber es ist klar, dass durch Isomorphie man auch immer wieder zu

dem kanonischen Tensorprodukt aus dem konstruktiven Existenzbeweis zurückgehen kann. Und darum sagen

wir einfach das Tensorprodukt. Das heißt, es ist eine Abbildung vom kathesischen Produktraum in

dem Tensorproduktraum V-Tensor-W. Das ist das Tensorprodukt, das wir hier berücksichtigen wollen.

Jetzt sagt dieses Corolla, dass alle Ergebnisse der letzten abstrakten Vorlesung zusammenfasst,

dass es einen Isomorphismus gibt zwischen dem Tensorproduktraum und dem Raum der bilinearform.

Dann existiert ein Isomorphismus zwischen dem Tensorproduktraum und dem Raum der bilinearform.

Die nach R bilden. Wie sieht dieser Isomorphismus aus? Wir haben jetzt hier den Tensorproduktraum

auf der linken Seite stehen, V-Tensor-W. Wir sagen, das ganze ist Isomorph zum Raum der

bilinearform. Das hat man mit L2 notiert über dem kathesischen Produktraum V-Tensor-W mit Werten in R.

Das ist jetzt ein neues Resultat. Wir haben bisher immer das Tensorprodukt selbst als eine

bilinearform angesehen vom kathesischen Produktraum in den Tensorproduktraum. Jetzt sagen wir aber,

die Elemente, die in diesem Tensorproduktraum leben, die können wir interpretieren selber als

bilinearform, und zwar solche, die nach R abbilden. Das ist ganz schön, denn das heißt eigentlich,

Elemente im Tensorproduktraum sind nichts anderes wie bilinearform. Wir wollen verstehen,

wie wir dahin kommen. Dazu sammeln wir jetzt alle Ergebnisse aus dem letzten Video zusammen.

Das ist im Endeffekt kein richtiger Überweis, sondern wir verketten jetzt eigentlich nur die

Isomorphismen, die wir bewiesen haben im letzten Video. Zuerst erinnern wir uns an den Isomorphismus,

den wir im Corollar der letzten Vorlesung ganz am Ende gesehen haben, nämlich an Isomorphismus

zwischen dem Tensorproduktraum algebraischer Dualräume und dem algebraischen Dualraum der

entsprechenden Tensorproduktraums. Das heißt, das war die Aussage, dass man das kleine Sternchen

nach außen ziehen kann. Das werden wir uns nochmal anschauen. Das ist die Grundlage dessen,

was wir brauchen, um dieses Corollar zu beweisen. Den Isomorphismus, vielleicht hebe ich die sogar

in grün hervor, damit man die unterschiedlichen Ergebnisse auf einen Blick gleich sieht.

Den Isomorphismus zwischen dem Tensorproduktraum algebraischer Dualräume

und dem algebraischen Dualraum des entsprechenden Tensorproduktraums

des entsprechenden Tensorproduktraums. Den wollen wir uns erinnern. Wie sah der aus?

Das war sozusagen das Ergebnis am Ende der letzten Vorlesung. Dann haben wir gesagt,

wenn wir uns zwei Dualräume anschauen, zwei Algebrasche, also V Stern, das sind die Menge