Im letzten Video haben wir Symmetrieeigenschaften für Tensoren eingeführt und wir haben gesehen,

dass symmetrische und antisymmetrische Tensoren der gleichen Stufe einen Vektoraum induzieren.

Und in diesem Video werden wir sehen, dass wir sogar mit ein bisschen mehr Mathematik

noch zusätzliche Struktur bekommen können, nämlich in Form einer Algebra.

Und diese Algebra wird in der Regel Grassmann-Algebra genannt.

Und dafür brauchen wir als letzte fehlende Zutat natürlich noch eine verträgliche

Multiplikation von Tensoren.

Und darum soll es in diesem Video nun gehen.

Wir fangen zuerst einmal an, uns zu überlegen, was passiert, wenn wir anstatt zwei Vektoren

für das Tensorprodukt nun mal zwei Tensoren hineinstecken.

Das heißt, wir verwenden nun das Tensorprodukt nicht auf Vektoren, sondern auf Tensoren.

Und damit würden wir sozusagen eine Art Tensormultiplikation definieren.

Und wir wollen uns mal anschauen, wie das funktioniert.

Dazu die folgende Definition.

Äußeres Produkt von Tensoren.

Und da machen wir jetzt nichts anderes als das wohlbekannte Tensorprodukt auf Tensoren

anzuwenden.

Deshalb brauchen wir, wie auch im letzten Video wieder, dass V ein endlich dimensionaler,

reeller Vektorraum ist.

Also sei V ein endlich dimensionaler, reeller Vektorraum.

Und wir definieren uns auch noch Indizes, die angeben, von welcher Stufe die beiden Tensoren

sind, die wir jetzt gleich miteinander verrechnen wollen.

Dazu nehmen wir die Folgenden.

Für die Co-Variantenanteile nehmen wir wieder R und R' und dann nehmen wir noch die Contra-Variantenanteile.

Die nennen wir in diesem Fall S und S'.

Das sind einfach nur natürliche Zahlen, die die Stufe angeben.

Und dann haben wir zwei Tensoren, die wir betrachten wollen.

Wir nehmen den ersten Tensor als einen Tensor, der Co-Variant der Stufe R und Contra-Variant

der Stufe S ist.

Das hatten wir so notiert.

Die Co-Variantenanteile in unserer Vorlesung sind oben, Contra-Variant unten.

Also ein Tensor, der Co-Variant der Stufe R und Contra-Variant der Stufe S.

Und dann brauchen wir noch einen zweiten.

Der muss jetzt nicht von der gleichen Stufe sein, darum haben wir auch R' und S' eingeführt.

Den wollen wir T' nennen.

Der sei jetzt Co-Variant der Stufe R' und Contra-Variant der Stufe S'.

Die haben jetzt hier ausnahmsweise nicht die gleiche Stufe.

Im letzten Video hatten wir immer angenommen, dass wir von rein Contra-Varianten oder rein

Co-Varianten-Tensoren der gleichen Stufe sprechen.

Nur die haben einen Vektorraum gebildet.

Jetzt machen wir einfach ganz beliebige Stufen.

Ich kürze mal kurz hier ab.

Der Co-Variant R und Contra-Variant S'.

Das Ganze ein bisschen abzukürzen.

Und jetzt mit diesen Voraussetzungen, wir haben zwei Tensoren unterschiedlicher Stufe, wollen

wir das sogenannte äußere Tensorprodukt oder die sogenannte Tensormultiplikation definieren.

Wie sieht das aus?

Dafür nehmen wir ganz normal das Tensorprodukt, das äußere Tensorprodukt von T und T' also

von Tensoren unterschiedlicher Stufe.

Ich schreibe mal dazu manchmal auch Tensormultiplikation genannt