Ja, herzlich willkommen zu der heutigen Vorlesung Mathematik für Physikstudierende C. Wieder im

neuen Format. Im Vergleich zum letzten Mal sollte die Technik ein bisschen besser sein,

die Auflösung sollte jetzt zumindest besser sein, auch noch perfekt. Von den Farben her,

ich habe immer so ein paar Streifen angezeichnet, ist immer noch nicht ganz da, wo wir es haben

wollen. Deshalb werde ich Farben noch immer sparsam benutzen, damit da keine Verwirrung entsteht. Und

die Audioqualität sollte jetzt auch besser sein, weil ich hier so ein kleines Mikrofon habe. Sowohl

zur Technik fangen wir an mit dem Stoff bzw. gehen wir erstmal zurück in die letzte Vorlesung. Eine

kleine Wiederholung. Was haben wir da gemacht? Prinzipiell war das ein Thema, mit dem wir uns

beschäftigt haben. Und zwar war das der algebraische Tangentialraum. Okay, und was haben wir für den

algebraischen Tangentialraum gebraucht? Naja, eben Derivationen. Also das ist nur stichpunktartige

Wiederholung, nur ganz grob. Derivationen, und wenn wir kurz nochmal wiederholen, was Derivationen

waren. Das waren eben genau Funktionale, die aus dem Dualraum der C-unendlich-Funktionen,

also das sind lineare Funktionale von C-unendlich-M nach R. Aber die haben noch eine spezielle

Eigenschaft, nämlich haben wir Derivationen. Probieren wir gleich mal die erste Farbe,

mal blau, an P. Und zwar soll die folgende Eigenschaft erfüllen, dass D von f mal g,

das sind jetzt zwei C-unendlich-Funktionen auf der Mannigfaltigkeit, ist gleich D von f mal g,

sondern jetzt wieder in blau von P plus genau dasselbe, plus andersrum f von P mal D von g.

Und das haben wir Leibniz oder Produktregel genannt. War motiviert aus den Richtungsableitungen mit

den Kurven. Okay, darüber haben wir auf eine ganz natürliche Art und Weise einen Vektoraum bekommen,

viel einfacher als es bei den Kurven der Fall war. Und das wichtige, das Hauptresultat der

letzten Vorlesung war, dass wir die partiellen Derivationen eingeführt haben. Die partiellen

Derivationen an P, die haben wir notiert mit D, X, I. Jetzt machen wir das P einfach mal

oben hin. P, genau genommen, man muss gar nicht mit dem I schreiben, sondern von 1 bis N, wobei

N eben genau die Dimension der Mannigfaltigkeit war, die wir betrachtet haben. Okay, das sind

alles solche Funktionale. Also T, P, ALG, algebraischer Tangentialraum an M. Okay, wir haben die betrachtet.

Was war die Idee dahinter? Wir haben die Koordinatenrichtungen R hoch N betrachtet,

also partielle Ableitungen R hoch N entlang Koordinatenrichtungen. Das sind ja einfach

hier die Richtungen und haben die dann mithilfe einer Karte Phi bzw. Phi in Vers auf die

Mannigfaltigkeit zurückgemappt. Das hat uns eine Kurve gegeben und mit der Kurve zusammen mit der

Richtungsableitung haben wir dann eine Derivation bekommen. Genau, so haben wir die definiert. Und

das Schöne war dann, dass wir zeigen konnten, die partiellen Derivationen an B bilden eine Basis

von T, P, ALG, M. Ja, das ist sehr schön, weil das gibt uns zwei Sachen. Erst mal können wir so

Derivationen relativ explizit darstellen, nämlich mit den partiellen Derivationen,

die ja eigentlich was sehr anschaulich sind. Und wir wissen auch zusätzlich noch, dass der

Tangentialraum ein N-dimensionaler Vektorraum ist. Also wir haben auch noch die Dimension bestimmt.

Heißt, er ist insbesondere endlich dimensional, damit immer isomorph zum R hoch N, was ja auch

gut zu der Anschauung passt, die man normalerweise kennt, einfach als Tangentenebene oder Tangential

gerade, einfach an den Punkt. Das werden wir uns auch später nochmal anschauen. Das war so der

Hauptpunkt, also das war wichtig. Was wir dann zusätzlich noch hatten, gut, was haben wir dann

noch eingeführt? Wir haben gesehen, dass T, P, das ist die algebraische Dualraum, isomorph ist zum

geometrischen. Okay, das haben wir jetzt auch nicht bewiesen. Es ist gut, dass es so ist, das heißt,

die Definitionen sind sinnvoll, dass wir da zwei verschiedene haben, weil so verschieden sind die

gar nicht. Und das letzte, was wir noch gemacht haben, das klatscht mir hier unten noch hin,

war der Cotangentialraum als Dualraum dann. Okay, das war die Wiederholung vom letzten Mal. Heute

führen wir das Ganze ein Stückchen weiter und kümmern uns um sogenannte Tangentialbündel.

Das war es mit der Wiederholung. Jetzt geht es los mit neuem Stoff. Tangentialbündel wird es heute

die Thema sein. Okay, bloß kurz im Voraus, wir haben ja unten jetzt gesehen, wir haben zwei

verschiedene Begriffe, geometrischer und algebraischer Tangentialraum. Als kleine

Vorbemerkung im Folgenden, das Großschreiben ist, schreibe ich praktisch einfach nur T, P,

M und lasse hier algebraisch oder geometrisch weg. Wobei T, P, M praktisch immer entweder der