Hallo und herzlich willkommen zu diesem Video, dieser Vorlesung Mathematik für Physikstudierende

C.

Wir haben uns in der letzten Vorlesung damit beschäftigt, was es heißt, messbar zu sein

bzw. was messbare Funktionen sind.

Und mit dem Konzept können wir jetzt auch schon tatsächlich loslegen, das Lebesque-Integral

zu definieren.

Gut, das ist auch das Thema der heutigen Stunde, das Lebesque-Integral.

Wir erinnern uns beim Riemann-Integral war die Idee, wir benutzen sogenannte Treppenfunktionen.

Das Bild habe ich jetzt schon ein paar Mal gemalt, ich mache es nochmal hin.

Beim Riemann-Integral haben wir Treppenfunktionen benutzt, das waren solche Funktionen, die

equidistant hier irgendwelche Werte haben.

Und davon wollen wir jetzt weg zu was Neuem.

Und zwar werden wir jetzt, das waren Treppenfunktionen, werden wir jetzt was Neues definieren, und

zwar sogenannte einfache oder Elementarfunktionen.

Definition.

Okay, und das ist auch relativ simpel.

Assign a1 bis an.

Das sind a, auch d, also Lebesque-messbare Mengen.

Und dann heißt f gleich der Summe von i gleich 1 bis n, Alpha i.

Und hier kommt jetzt die Indikatorfunktion oder beziehungsweise die charakteristische

Funktion.

Ich überlege gerade, wie ich die am dümmsten schreibe.

Die schreibe mit einer großen 1, das ist schöner.

Und a i von x, einfache bzw. nennen wir es einfach einfache Funktion.

Beziehungsweise wollen wir jede Funktion, die sich so schreiben lässt, einfache Funktion

nennen.

Okay, einfache Funktion natürlich für Alpha i aus R Abschluss in dem Fall.

Wir lassen auch unendlich zu.

Okay, was heißt es im Bild?

Oder nur nochmal kurz die Indikatorfunktion, wie war die definiert?

Ich schreibe deshalb nicht den Buchstaben chi, weil es gibt auch die charakteristische

Funktion und die ist dann mit den Zahlen eins und unendlich.

Aber wir wollen die Indikatorfunktion, also 1 an und die soll 1 und 0 benutzen.

Von x ist 1, wenn x in a n ist und 0 sonst.

Wie sieht also so eine einfache Funktion aus?

Wir malen mal hier den Definitionsbereich.

Und jetzt haben wir hier irgendwelche Mengen.

Das hier zum Beispiel, das rote hier, ist jetzt a i.

Die Menge kann irgendwas sein.

Die muss jetzt nicht nur ein Strahl sein oder ein Intervall oder ein irgendwas.

Wir fordern nur, dass sie lebes messbar sein muss.

Das sind ziemlich viele Mengen.

Können wir hier auch einen Punkt theoretisch hinmachen.

Und auf dieser Menge durch die charakteristische Funktion hier hat die den Wert alpha i.

Jetzt mal hier mal der hier.

Also wenn wir den Wertibereich noch anmachen.

Hier, das wäre jetzt alpha i.

Und hier überall, hier unten, den selben Wert alpha i.

Gut, jetzt sagen wir vielleicht gibt es hier noch eine zweite Menge.

Hier, die ist dann genau in den Zwischen, eventuell, das Beispiel mich hin mal.