Hallo und herzlich willkommen zu der Vorlesung Mathematik für Physik Studierende C.

Wir haben uns im letzten Vorlesungsvideo mit Wegintegralen und Integration komplexer Funktionen

beschäftigt.

Wir haben das auch ziemlich ausgeweitet auf verschiedene Arten von Wegen und haben auch

gezeigt, dass für Holomorphe Funktionen auf Kreischreiben immer

Stammfunktionen existieren.

Wir werden heute die wichtigsten Resultate für Integration komplexer Funktionen entweder

beweisen oder einfach nur uns anschauen.

Da kommen ganz interessante Sachen raus ganz am Ende, zum Beispiel der Satz von Liu Will

oder auch dann der Fundamentalsatz der Algebra, den wir dann ganz einfach folgeln können,

insbesondere wird das Hauptthema heute der Integralsatz von Cauchy bzw. die integral

Formel von Cauchy, die uns auch etwas ganz interessantes zeigt, nämlich dass wir eine

Holomorphe Funktion oder Funktionswerte von Holomorphen Funktionen sind schon durch das

Integral über Bälle oder über Kreischscheiben, über den Rand einer Kreischscheibe gegeben.

Das sind überraschende Resultate, die man da in der Funktionentheorie hat und das wollen

wir uns heute anschauen.

Auf dem Weg dahin brauchen wir ein paar Tools.

Also das Thema ist heute die Integralformel von Cauchy.

Auf dem Weg dahin brauchen wir einige Tools.

Was wir zunächst brauchen sind benachbarte Wege.

Machen wir die folgende Definition.

Zwei Wege, Gamma 0, Gamma 1 von a b nach u, Teilmenge c, heißen

benachbart, falls eine Zerlegung existiert.

Eine Zerlegung t0 gleich a bis tn gleich b mit Kreischscheiben b, j.

Ja da fehlt natürlich wie immer, das habe ich vorher schon vergessen im letzten Video,

b, j, Teilmenge u existiert.

Jetzt kann ich es endlich hinschreiben.

Sodass Gamma 0 von tj, tj plus 1, vereinigt mit Gamma 1 von tj, tj plus 1, Teilmenge b,

j ist für j gleich 0 bis n minus 1.

Ok, mal ein kleines Bild dazu, was soll das nochmal bedeuten.

Wir haben hier einen Weg, der sieht vielleicht so aus, der geht hier runter und dann haben

wir einen zweiten Weg, der sieht so aus.

Und dann sagen wir, wir können hier eine Zerlegung finden für die beiden Wege, jeweils in ti.

Das eine mag vielleicht hier sein und für den anderen mögen diese Punkte vielleicht

gerade hier sein.

Und das ist unsere umgebende Menge u.

Und dann finden wir jeweils Kreischscheiben.

Was müssen wir haben, wir müssen einmal das hier, der Abschnitt von dem zu dem und dem

zu dem muss in einem drin sein.

Ok, dann der nächste, der hier und der hier, die müssen auch zusammen in einer Kreischscheibe

drin sein.

Dann der nächste ist für den der hier und für den der hier.

Dann nehmen wir die Kreischscheibe.

Das heißt, wir finden Kreischscheiben, sodass die Intervalle für beide Wege jeweils in

diesen Kreischscheiben drin liegen.

Dann nennen wir einen Weg benachbart.

Und wir sehen schon, wenn jetzt hier vielleicht ein anderer Weg wäre, der jetzt hier so rumlaufen

würde, dann würden wir uns wahrscheinlich schwer tun, dann Kreischscheiben zu finden,

die dann beide noch überdecken.

Ok, heißt wir haben schon eine gewisse geometrische Anschauung, die wird aber noch viel schöner